Πιθανότητες σε μεγάλες διαστάσεις: φαινόμενα κατωφλίου για το μέτρο τυχαίων πολυτόπων

Περίληψη

Μελετάμε το ερώτημα αν εμφανίζονται φαινόμενα κατωφλίου για τη μέση τιμή του μέτρου του τυχαίου πολυτόπου που ορίζεται ως η κυρτή θήκη ανεξάρτητων τυχαίων σημείων με την ίδια (τυχούσα) λογαριθμικά κοίλη κατανομή. Για μια ακριβέστερη διατύπωση του προβλήματος, έστω μ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R^n και για κάθε N > n ας θεωρήσουμε το τυχαίο πολύτοπο K_N=conv{X_1,...,X_N}, όπου X_1,X_2,... είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων σημείων στον R^n που έχουν κατανομή μ. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει φαινόμενο κατωφλίου για τη μέση τιμή E[μ(K_N)] του μέτρου του K_N. Η προσέγγισή μας βασίζεται στον μετασχηματισμό Cramer Λ* του μ. Εξετάζουμε την ύπαρξη ροπών κάθε τάξης της Λ* και στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι, κάτω από κάποιες προϋποθέσεις, εμφανίζεται ισχυρό φαινόμενο κατωφλίου για την E[μ(K_N)]: Eίναι κοντά στο 0 αν lnN=(1+o_n(1))E[Λ*]. Η βασική προϋπόθεση είναι η παράμετρος β(μ)=Var(Λ*)/Ε[Λ*]^2 να είναι μικρή (ιδανικά ο_n(1)).

Περίληψη σε άλλη γλώσσα

We study the question how to obtain a threshold for the expected measure of a random polytope defined as the convex hull of independent random points with a log-concave distribution. For a precise formulation of the problem, let μ be a log-concave probability measure on R^nand for any N > n consider the random polytope K_N = conv{X_1, . . . , X_N }, where X_1, X_2,... are independent random points in R^n distributed according to μ. The question is if there exists a threshold for the expected measure E[μ(K_N)]] of K_N .Our approach is based on the Cramer transform Λ* of μ. We examine the existence of moments of all orders for Λ* and establish, under some conditions, a sharp threshold for E[μ(K_N)]: It is close to 0 if lnN=(1+o_n(1))E[Λ*].The main condition is that the parameter β(μ)=Var(Λ*)/Ε[Λ*]^2 should be small (ideally o_n(1)).

Όλα τα τεκμήρια στο ΕΑΔΔ προστατεύονται από πνευματικά δικαιώματα.

Διεύθυνση Handle
http://hdl.handle.net/10442/hedi/59059
ND
59059
Εναλλακτικός τίτλος
Probability in high dimension: threshold phenomena for the measure of random polytopes
Συγγραφέας
Πάφης, Μηνάς (Πατρώνυμο: Κωνσταντίνος)
Ημερομηνία
2025
Ίδρυμα
Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών (ΕΚΠΑ). Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών. Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης
Εξεταστική επιτροπή
Γιαννόπουλος Απόστολος
Δοδός Παντελής
Τύρος Κωνσταντίνος
Ηλιοπούλου Μαρίνα
Λουλάκης Μιχαήλ
Μπραζιτίκος Σιλουάνος
Τρέβεζας Σάμης
Επιστημονικό πεδίο
Φυσικές ΕπιστήμεςΜαθηματικά ➨ Μαθηματική ανάλυση
Λέξεις-κλειδιά
Φαινόμενα κατωφλίου; Τυχαία πολύτοπα; Κυρτά σώματα; Βάθος ως προς ημιχώρους; Μετασχηματισμός Cramer; Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας; Ισοτροπική σταθερά
Χώρα
Ελλάδα
Γλώσσα
Ελληνικά
Στατιστικά χρήσης
ΠΡΟΒΟΛΕΣ
Αφορά στις μοναδικές επισκέψεις της διδακτορικής διατριβής για την χρονική περίοδο 07/2018 - 07/2023.
Πηγή: Google Analytics.
ΞΕΦΥΛΛΙΣΜΑΤΑ
Αφορά στο άνοιγμα του online αναγνώστη για την χρονική περίοδο 07/2018 - 07/2023.
Πηγή: Google Analytics.
ΜΕΤΑΦΟΡΤΩΣΕΙΣ
Αφορά στο σύνολο των μεταφορτώσων του αρχείου της διδακτορικής διατριβής.
Πηγή: Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών.
ΧΡΗΣΤΕΣ
Αφορά στους συνδεδεμένους στο σύστημα χρήστες οι οποίοι έχουν αλληλεπιδράσει με τη διδακτορική διατριβή. Ως επί το πλείστον, αφορά τις μεταφορτώσεις.
Πηγή: Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών.