Πιθανότητες σε μεγάλες διαστάσεις: φαινόμενα κατωφλίου για το μέτρο τυχαίων πολυτόπων

Abstract

We study the question how to obtain a threshold for the expected measure of a random polytope defined as the convex hull of independent random points with a log-concave distribution. For a precise formulation of the problem, let μ be a log-concave probability measure on R^nand for any N > n consider the random polytope K_N = conv{X_1, . . . , X_N }, where X_1, X_2,... are independent random points in R^n distributed according to μ. The question is if there exists a threshold for the expected measure E[μ(K_N)]] of K_N .Our approach is based on the Cramer transform Λ* of μ. We examine the existence of moments of all orders for Λ* and establish, under some conditions, a sharp threshold for E[μ(K_N)]: It is close to 0 if lnN=(1+o_n(1))E[Λ*].The main condition is that the parameter β(μ)=Var(Λ*)/Ε[Λ*]^2 should be small (ideally o_n(1)).

Μελετάμε το ερώτημα αν εμφανίζονται φαινόμενα κατωφλίου για τη μέση τιμή του μέτρου του τυχαίου πολυτόπου που ορίζεται ως η κυρτή θήκη ανεξάρτητων τυχαίων σημείων με την ίδια (τυχούσα) λογαριθμικά κοίλη κατανομή. Για μια ακριβέστερη διατύπωση του προβλήματος, έστω μ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R^n και για κάθε N > n ας θεωρήσουμε το τυχαίο πολύτοπο K_N=conv{X_1,...,X_N}, όπου X_1,X_2,... είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων σημείων στον R^n που έχουν κατανομή μ. Το ερώτημα είναι αν υπάρχει φαινόμενο κατωφλίου για τη μέση τιμή E[μ(K_N)] του μέτρου του K_N. Η προσέγγισή μας βασίζεται στον μετασχηματισμό Cramer Λ* του μ. Εξετάζουμε την ύπαρξη ροπών κάθε τάξης της Λ* και στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι, κάτω από κάποιες προϋποθέσεις, εμφανίζεται ισχυρό φαινόμενο κατωφλίου για την E[μ(K_N)]: Eίναι κοντά στο 0 αν lnN=(1+o_n(1))E[Λ*]. Η βασική προϋπόθεση είναι η παράμετρος β(μ)=Var(Λ*)/Ε[Λ*]^2 να είναι μικρή (ιδανικά ο_n(1)).