Εννοιολογική και διαδικαστική γνώση για τα κλάσματα: δι-ατομικές διαφορές και η σχέση τους με την προσέγγιση των μαθητών στη μάθηση των μαθηματικών

Abstract

Contemporary perspectives on mathematics learning converge on the view that conceptual understanding and procedural fluency are equally important components of mathematical knowledge. Despite this consesus, delineating these components and their relation remains an ongoing subject of discussion. The distinction between “conceptual knowledge” and “procedural knowledge” has been, and continues to be an influential distinction in the field of mathematics education. “Procedural knowledge” is defined as the ability of the individual to execute algorithmic procedures, whereas the term “conceptual knowledge” refers to the knowledge for the features and properties of the entities of a domain, the relations and procedures in which they are involved, as well as the principles that they obey. Conceptual and procedural knowledge are very often highly correlated. However, there are research findings indicating that the development of the two types of knowledge is assymetrical, highlighting inter-individual differences in the way students combine the two types of knowledge in various mathematical areas. Prior research has not provided yet satisfactory explanations for this phenomenon. In the present thesis, we investigate the inter-individual differences in conceptual and procedural knowledge of fractions and explore their relation to the individual’s approach to mathematics learning, along the distinction “deep approach” (related to the individual’s intention to understand) and “surface approach” (related to the individual’s intention to reproduce). We hypothesized that there are inter-individual differences in the procedural and conceptual knowledge of fractions, in the sense that there are individuals whose conceptual knowledge is lagging behind procedural knowledge or vice versa. Further, we predicted that such differences may remain extreme, up to Grade 9. More specifically, we predicted that there are students who consistently succeed in procedural tasks, but consistently fail in conceptual tasks and vice versa. We also hypothesized that these inter-individual differences in the two types of knowledge are accompanied with differences in the individual’s approach to mathematics learning (surface/deep). Specifically, we predicted that students with more developed procedural knowledge, will follow surface approach to mathematics learning, whereas students with advanced or more developed conceptual knowledge compared to their procedural knowledge will follow deep approach to mathematics learning. In order to investigate: a) the procedural and conceptual knowledge for fractions, and b) the approach to mathematics learning, two new instruments were constructed which were evaluated in terms of validity and reliability. The two questionnaires were administered to 463 students at Grade 7 and 9, at two different moments. We tested for inter-individual differences via the statistical method of “cluster analysis”, from which four different profiles emerged. Two of them included students with more developed conceptual, than procedural knowledge and vice versa, which was consistent with our hypothesis. Moreover, students who consistently failed in one type of task but succeded in the other were identified. We also found that the approach to mathematics learning predicts cluster membership for students with more developed procedural, than conceptual, knowledge, but not for those with more developed conceptual knowledge. This result partially supports our hypothesis. The theoretical assumptions, the design, and the research findings are discussed with respect to the theoretical and methodological contributions of this thesis, and possible educational implications are highlighted.

Οι σύγχρονες απόψεις για τη μάθηση των μαθηματικών συγκλίνουν στη θέση ότι η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες είναι εξίσου απαραίτητες συνιστώσες της μαθηματικής γνώσης. Παρά τη γενική αυτή συναίνεση, ο θεωρητικός και εργαλειακός προσδιορισμός των δύο αυτών συνιστωσών, καθώς και της μεταξύ τους σχέσης, παραμένουν αντικείμενο συζήτησης. Η διάκριση μεταξύ «εννοιολογικής γνώσης» και «διαδικαστικής γνώσης» έχει υπάρξει και συνεχίζει να είναι ένας τρόπος οριοθέτησης του προβλήματος με σημαντική επίδραση στον ερευνητικό αυτό χώρο. Ως «διαδικαστική γνώση» ορίζεται η ικανότητα του υποκειμένου να εκτελεί διαδικασίες αλγοριθμικού τύπου, ενώ ο όρος «εννοιολογική γνώση» αναφέρεται στη γνώση για τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των οντοτήτων μιας γνωστικής περιοχής, τις σχέσεις και διαδικασίες στις οποίες εμπλέκονται, καθώς και τις αρχές που διέπουν την εμπλοκή τους. Η εννοιολογική και η διαδικαστική γνώση παρουσιάζονται συχνά ως αλληλένδετες. Ωστόσο, υπάρχουν ερευνητικά δεδομένα που δείχνουν ότι συχνά η ανάπτυξη των δύο τύπων γνώσης είναι ασύμμετρη, αναδεικνύοντας δι-ατομικές διαφορές στον τρόπο που οι μαθητές συνδυάζουν τα δύο είδη γνώσης σε διάφορες περιοχές των μαθηματικών. Η έρευνα για τους παράγοντες που συνδέονται με αυτό το φαινόμενο δεν έχει τελεσφορήσει. Στην παρούσα διατριβή επιχειρείται η διερεύνηση των δι-ατομικών διαφορών στη διαδικαστική και εννοιολογική γνώση για κλάσματα, καθώς και η σχέση τους με την προσέγγιση στη μάθηση των μαθηματικών (επιφανειακή/βαθιά) σε μαθητές Α΄ και Γ΄ Γυμνασίου. Με βάση τη βιβλιογραφία και προηγούμενες μελέτες μας, υποθέσαμε ότι υπάρχουν δι-ατομικές διαφορές στη διαδικαστική και εννοιολογική γνώση για τα κλάσματα, με την έννοια ότι η εννοιολογική γνώση υστερεί σε σχέση με τη διαδικαστική ή αντίστροφα. Επιπλέον, υποθέσαμε ότι οι διαφορές αυτές μπορεί να παραμένουν ακραίες ακόμη και για μαθητές μεγαλύτερης ηλικίας. Πιο συγκεκριμένα, προβλέψαμε ότι θα βρεθούν μαθητές οι οποίοι επιτυγχάνουν σε έργα με διαδικαστική στόχευση, αλλά αποτυγχάνουν συστηματικά σε έργα με εννοιολογική στόχευση και αντίστροφα. Υποθέσαμε επίσης ότι αυτές οι δι-ατομικές διαφορές στα δύο είδη γνώσης των κλασμάτων θα συνοδεύονται από διαφορές στην προσέγγιση της μάθησης των μαθηματικών (επιφανειακή/βαθιά). Η επιφανειακή προσέγγιση σχετίζεται με την πρόθεση του υποκειμένου να αναπαραγάγει το περιεχόμενο όταν του ζητηθεί, ενώ η βαθιά προσέγγιση με την πρόθεση του υποκειμένου να κατανοήσει το αντικείμενο της μάθησης. Συγκεκριμένα, προβλέψαμε ότι οι μαθητές με περισσότερο ανεπτυγμένη τη διαδικαστική, σε σχέση με την εννοιολογική γνώση, θα ακολουθούν επιφανειακή προσέγγιση στη μάθηση των μαθηματικών, ενώ οι μαθητές με προχωρημένη ή περισσότερο ανεπτυγμένη την εννοιολογική γνώση, θα ακολουθούν βαθιά προσέγγιση στη μάθηση των μαθηματικών. Προκειμένου να εξετασθούν: α) η διαδικαστική και εννοιολογική γνώση των μαθητών για τα κλάσματα και β) η προσέγγιση των μαθητών στη μάθηση των μαθηματικών, κατασκευάστηκαν δύο νέα ερευνητικά εργαλεία τα οποία αξιολογήθηκαν ως προς την εγκυρότητα και την αξιοπιστία τους. Και τα δύο ερωτηματολόγια επιδόθηκαν στους ίδιους 463 μαθητές Α΄ και Γ΄ Γυμνασίου, σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Ο έλεγχος της υπόθεσης της ύπαρξης δι-ατομικών διαφορών πραγματοποιήθηκε με τη στατιστική μέθοδο της «ανάλυσης συστάδων», από την οποία προέκυψαν τέσσερα διαφορετικά προφίλ μαθητών. Τα δύο από αυτά συμπεριλάμβαναν μαθητές για τους οποίους η εννοιολογική γνώση υπερτερούσε της διαδικαστικής και αντίστροφα, αποτέλεσμα που συνηγορεί υπέρ της υπόθεσής μας. Επιπλέον, ανιχνεύθηκαν μαθητές με ακραίες διαφορές μεταξύ των δύο ειδών γνώσης, με την έννοια που περιγράφηκε παραπάνω. Στη συνέχεια ελέγχθηκε με πολυμεταβλητή λογιστική παλινδρόμηση κατά πόσο η προσέγγιση στη μάθηση των μαθηματικών και η τάξη (Α΄ και Γ΄) αποτελούν προγνωστικούς παράγοντες για την κατάταξη των μαθητών στις διαφορετικές ομάδες που προέκυψαν από την ανάλυση συστάδων. Το κεντρικό εύρημα είναι ότι η προσέγγιση στη μάθηση των μαθηματικών προβλέπει την κατάταξη στην ομάδα των μαθητών που έχουν ισχυρότερη διαδικαστική, σε σχέση με την εννοιολογική γνώση, αλλά όχι και στην ομάδα αυτών που έχουν ισχυρότερη εννοιολογική γνώση. Το αποτέλεσμα αυτό υποστηρίζει μερικώς την υπόθεσή μας. Οι θεωρητικές παραδοχές, ο σχεδιασμός και τα ευρήματα της έρευνας συζητώνται ως προς τη θεωρητική και μεθοδολογική τους συμβολή στον σχετικό ερευνητικό χώρο και αναδεικνύονται ενδεχόμενες εκπαιδευτικές προεκτάσεις.