Αναπαραστάσεις μαθηματικών εννοιών σε φυσικό και ηλεκτρονικό περιβάλλον ως εργαλεία για τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών: η περίπτωση των κλασμάτων

Abstract

The area of rational numbers is an important part of the mathematical education of our students, as their knowledge contributes to the understanding of other mathematical concepts. For this reason many researchers are moving in this field by exploring the students' difficulties. However, in spite of the fact that curriculum change and mathematical school texts adapt to new education needs, students, internationally, continue to have difficulties when handling fractions. The international literature reports four external factors influencing the understanding of the fractions: 1. the way of teaching, 2. the use or non-representations, 3. the representations of the school books, and 4. the perceptions of the teachers and candidate teachers in the fractions.We therefore see that several researchers have attributed to each other and to a different factor the difficulties faced by students in fractions. In the present study, believing that these students' difficulties are due to a combination of factors including these four factors together, it attempts through long-term research to highlight these factors in Greece with the ultimate goal of formulating and proposing solutions to reduce of these pupils' difficulties.In particular, the pupils' difficulties in the fractions are examined in Primary and Secondary Education, then the difficulties of the candidate teachers for the fractions are investigated, the contents of all primary school books are analyzed for the quantity, type and frequency of the representations in fractions and, finally, from the findings of these surveys, a prototype innovative intervention program is designed and implemented to reduce these difficulties.The innovation introduced is that for the design of intervention programs, not only multiple representations, but also ten structural elements of mathematics (1. Realistic Mathematics Education, 2.History of Mathematics, 3.Open Problem, 4.Breach of Didactic Contract, 5.Counterexamples, 6.Geometric Transformations, 7.Mental Computations and Estimations, 8.Interdisciplinary, 9.Problem Posing plus, 10.Technology) have been used as tools for didactic interventions to enhance the effectiveness of representations, which seems that in recent years, despite being widely used and their positive influence being explored, representations cannot achieve optimal results as the pupils' difficulties in fractions remain international.Τhe above are investigated in the three research parts of the dissertation.The A΄ research part consists of longitudinal surveys and were designed not only to identify the difficulties of students in primary and secondary education concerning fractions, but also to explore the stability of the findings of these studies. It is an important research part for designing teaching interventions and educational software, as these findings were the basis and rules upon which the activities were planned. The results of the A΄ research section show that students of Primary and Secondary Education of Greece are very difficult, similar to those presented in the international bibliography.The B΄ research part aims to identify the causes of these difficulties that students face. The perceptions and beliefs of prospective teachers and the structure and content of Greek mathematics textbooks of primary school are therefore highlighted. The results showed that prospective teachers face major difficulties both in finding a fraction between two fractions and finding fractions on the number line. Prospective teachers appear to show equally significant difficulties when it comes to improper fractions, as the works with these notions had the lowest success rates. On the notion of equally dividing the unit, it was observed that prospective teachers do not face any problem in finding the fraction representing a shape when the unit is divided into as many equal parts as the denominator says. They begin to experience difficulties, however, when the parts in which the unit is divided do not coincide with the denominator of the fraction. Consequently, it seems that prospective teachers have not fully grasped the notion of equal parts of the fractional unit.In the same research part also includes the content research conducted on Greek textbooks of mathematics of all six grades of primary school. The group of books studied includes student's books, activity books, and teacher’s books- totally, 38 textbooks. The purpose of this research was to check the quality, quantity and appropriateness of representations on the notions of equal parts of the fractional unit, improper fractions and sequences of rational numbers on the geometric model of number line. At the same time, a commentary on the adequacy and type of representations and their correlation with the difficulties that students encounter takes place, based on surveys on these notions. Findings show a limited extent of the chapter of textbooks dealing with these notions, and limited implementation of multiple representations.Finally, the intervention program, which is the C part of the research and which was implemented on the basis of multiple representations with the help of the ten structural elements of Mathematics, showed an improvement in pupils' performance in fractions in the post-tests and the creation of a positive attitude towards Mathematics. In particular, τhe analysis of the collected data both similarity statistical method and implicative graph showed that multiple representations and ten structural elements of Mathematics helped enough students to reduce their difficulties about classification of fractions as a representation on the number line, as well as the concepts of the unit’s division in equal parts and the concept of the improper fractions. The reduction of difficulties of students seems to amplify students’ self-esteem about mathematics, as they stated to be more satisfied by their performance and expressed more interest for the subject. In additional, students that stated that they don’t like learning mathematics (those students showed low performance on mathematics at school), after the interventions there was a change on their convictions, as they stated that they like mathematics. The more important finding is that the students after the learning process develop a positive attitude in mathematics which helps them to solve difficult tasks such as tasks with improper fractions. This change of positive attitude in mathematics was affected - according to statements of students in interviews – by better understanding.

Η περιοχή των ρητών αριθμών είναι ένα σημαντικό κομμάτι της μαθηματικής παιδείας των μαθητών μας, καθώς η γνώση τους συμβάλλει στην κατανόηση άλλων μαθηματικών εννοιών. Για το λόγο αυτό πολλοί ερευνητές κινούνται στο πεδίο των κλασμάτων ερευνώντας τις δυσκολίες των μαθητών πάνω στους ρητούς. Ωστόσο, ιδιαίτερη ανησυχία προκαλεί το γεγονός ότι αυτές οι δυσκολίες παρουσιάζουν μια διαχρονικότητα και μια δυσκαμψία στην αλλαγή τους, παρά το γεγονός ότι τα τελευταία χρόνια τα αναλυτικά προγράμματα και τα σχολικά βιβλία στη Ελλάδα έχουν αλλάξει. H διεθνής βιβλιογραφία αναφέρει τέσσερις εξωγενείς παράγοντες που επηρεάζουν την κατανόηση των κλασμάτων: 1. τον τρόπο διδασκαλίας, 2. τη χρήση ή μη αναπαραστάσεων, 3. τις αναπαραστάσεις των σχολικών βιβλίων και 4. τις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών και υποψήφιων εκπαιδευτικών στα κλάσματα.Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι διάφοροι ερευνητές έχουν αποδώσει ο καθένας και σε διαφορετικό παράγοντα τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στα κλάσματα. Στην παρούσα έρευνα, πιστεύοντας ότι οι δυσκολίες αυτές των μαθητών οφείλονται σε έναν συνδυασμό παραγόντων που συμπεριλαμβάνει και τους τέσσερις αυτούς παράγοντες μαζί, επιχειρεί μέσα από μια μακρόχρονη έρευνα να αναδείξει αυτούς τους παράγοντες στον ελλαδικό χώρο με τελικό στόχο τη διατύπωση και πρόταξη λύσεων για τη μείωση αυτών των δυσκολιών των μαθητών στα κλάσματα.Πιο συγκεκριμένα, ερευνούνται οι δυσκολίες των μαθητών στα κλάσματα στην Πρωτοβάθμια και στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, στη συνέχεια ερευνούνται οι δυσκολίες των υποψήφιων δασκάλων για τα κλάσματα, αναλύονται τα περιεχόμενα όλων των σχολικών βιβλίων του δημοτικού για την ποσότητα, το είδος και τη συχνότητα των αναπαραστάσεων στα κλάσματα και τέλος από τα πορίσματα αυτών των ερευνών σχεδιάζεται και υλοποιείται πρωτότυπο καινοτόμο παρεμβατικό πρόγραμμα για τη μείωση αυτών των δυσκολιών. Η καινοτομία που εισάγεται είναι ότι για το σχεδιασμό των παρεμβατικών προγραμμάτων χρησιμοποιήθηκαν ως εργαλεία για τις διδακτικές παρεμβάσεις όχι μόνο οι πολλαπλές αναπαραστάσεις, άλλα και δέκα δομικά στοιχεία των Μαθηματικών (Ρεαλιστικά Μαθηματικά, Ιστορία των Μαθηματικών, Ανοιχτό Πρόβλημα, Ρήξη Διδακτικού Συμβολαίου, Αντιπαράδειγμα, Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί, Νοεροί και Κατ' εκτίμηση Υπολογισμοί, Διεπιστημονικότητα, Κατασκευή Προβλήματος και Τεχνολογία) για να ενισχύσουν την αποτελεσματικότητα των αναπαραστάσεων, που φαίνεται ότι τα τελευταία χρόνια, παρά το γεγονός ότι χρησιμοποιούνται ευρέως και η θετική τους επιρροή έχει διερευνηθεί, δεν μπορούν να επιφέρουν βέλτιστα αποτελέσματα, καθώς οι δυσκολίες των μαθητών στα κλάσματα παραμένουν διεθνώς.Όλα τα παραπάνω διερευνούνται στα τρία ερευνητικά μέρη της εργασίας. Τα αποτελέσματα του Α΄ ερευνητικού μέρους δείχνουν έντονες δυσκολίες των μαθητών της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης της Ελλάδας, παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζει η διεθνής βιβλιογραφία. Στο Β΄ ερευνητικό μέρος αναδεικνύονται οι σημαντικές δυσκολίες που έχουν οι υποψήφιοι δάσκαλοι πάνω στους ρητούς αριθμούς, που σε κάποιες έννοιες είναι παρόμοιες με αυτές που αντιμετωπίζουν οι μαθητές της Πρωτοβάθμιας και της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, όπως στην ισοδιαμέριση της κλασματικής μονάδας, ενώ στο ίδιο ερευνητικό μέρος αναδύονται οι πενιχρές αναπαραστάσεις των σχολικών βιβλίων των Μαθηματικών της Ελλάδας για την ισοδιαμέριση της κλασματικής μονάδας, τα καταχρηστικά κλάσματα και την τοποθέτηση κλασμάτων στο γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής. Τέλος, το Γ΄ ερευνητικό μέρος αποτελεί το καινοτόμο παρεμβατικό πρόγραμμα, που υλοποιήθηκε βάσει των πολλαπλών αναπαραστάσεων με την επικουρία των δέκα δομικών στοιχείων των Μαθηματικών. Η ανάλυση των ερευνητικών δεδομένων, τόσο με τη στατιστική μέθοδο ομοιότητας όσο και με το συνεπαγωγικό διάγραμμα, έδειξε ότι οι πολλαπλές αναπαραστάσεις με την επικουρία των δέκα δομικών στοιχείων των Μαθηματικών βοήθησαν αρκετά τους μαθητές να μειώσουν τις δυσκολίες τους όσον αφορά τη σειροθέτηση των κλασμάτων ως αναπαράσταση στο γεωμετρικό μοντέλο της αριθμητικής γραμμής, την έννοια της διαίρεσης της κλασματικής μονάδας σε ίσα μέρη και την έννοια των καταχρηστικών κλασμάτων και τη δημιουργία μιας θετικής στάσης για τα Μαθηματικά. Αυτή η αλλαγή θετικής στάσης στα μαθηματικά επηρεάστηκε - σύμφωνα με τις δηλώσεις των μαθητών στις συνεντεύξεις - από την καλύτερη κατανόηση των κλασμάτων.