Νοεροί υπολογισμοί και μαθηματικός διάλογος: η επίδραση μιας διδακτικής παρέμβασης

Abstract

This doctoral dissertation deals with a) the contribution of mental calculations to the arithmetic operations performed by students in grades 4th, 5th and 6th grade of Primary Education, b) the search of factors that influence the use of mental calculations in the operations performed by the students, and c) the identification of the conditions chosen by the students in order to perform the operations with mental calculations. The research is based on the study of the current theoretical framework of English-speaking countries (England, Australia, and the United States of America), in which new numeracy programs were designed and applied in their educational reforms. These reforms were aimed at integrating the teaching of mental calculations and improving the performance of Primary school students in mathematics. According to the evaluations by the competent authorities (NNS, NAPLAN, NAEP) during the last five years an improvement in the performance of Primary school students in mathematics is noted. Given that no corresponding numeracy evaluation authority is established in Greece, the present dissertation makes an attempt to investigate the contribution of mental calculations to mathematical operations. Until recently, there has been no extensive research in the literature concerning the factors that influence the use of mental calculations in the performance of mathematical operations by students. Thus, in the present work, the aim was to investigate and record the reasons why the students themselves chose to perform their operations with mental strategies. In addition, in the present study factors (linguistic strategies and problem characteristics) that may have generally influenced students' use of mental strategies in performing arithmetic operations were investigated. Thus, the following research questions were formulated: 1) What are the characteristics of the evolution of the use of mental calculations during the teaching intervention? 2) Do mental calculations contribute to the correctness of arithmetic operations? 3) In which cases of arithmetic operations do students choose to use mental calculations? To answer the research questions, a teaching intervention with a semi-experimental approach was designed and it was performed in two phases, in a pilot form and in its final form. In addition, the final test was designed, which was implemented three months after the intervention was completed, in order to test its effectiveness. In the teaching interventions, the teaching of strategies of mental calculations took place, as well as the development of a peculiar vocabulary. The used words and phrases were matched to mathematical terms. The evaluation of the teaching intervention and the final test was done with worksheets. The data collection and the extraction of the results were done by recording, transcribing and by using the technique of content analysis of the dialogues developed during the evaluation of the intervention and the final test. In addition, in the final test, a semi-structured interview was conducted separately with each student. All interventions, including the pilot ones, were carried out with students of 4th, 5th and 6th grade of Primary school. A total of 80 students took part. The conclusions that emerge for the first research question are that the factors that may influence the use of mental calculations are the linguistic tools of pronouns, the size and type of numbers, the systematic teaching of mental calculations, the constant practice of mental calculations, verbal problems. For the second research question it is concluded that mental calculations contribute to the correctness of the operations, a fact which results from the success of the operations performed with mental calculations in the present research, as well as from reports from the evaluation authorities of other countries that indicate the improvement of students’ performance after teaching mental calculations. For the third research question it appears that the students recognize conditions for the execution of operations with mental calculations regarding the terms of the operations. Teachers can also improve their teaching if they are able to know the reasons why students choose to perform the operations with mental calculations.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται: α) τη συμβολή των νοερών υπολογισμών στις αριθμητικές πράξεις που εκτελούν οι μαθητές στις τάξεις Δ’, Ε’ και Στ’ της Α/θμιας εκπ/σης, β) την αναζήτηση των παραγόντων που επηρεάζουν τη χρήση των νοερών υπολογισμών στις πράξεις που εκτελούνται από τους μαθητές, και γ) τον εντοπισμό των προϋποθέσεων που επιλέγουν οι μαθητές, ώστε να εκτελέσουν τις πράξεις με νοερούς υπολογισμούς. Η έρευνα βασίζεται στη μελέτη του ισχύοντος θεωρητικού πλαισίου των αγγλόφωνων χωρών (Αγγλία, Αυστραλία και Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής), στις οποίες σχεδιάστηκαν και εφαρμόστηκαν νέα προγράμματα αριθμητισμού στις εκπαιδευτικές τους μεταρρυθμίσεις. Οι μεταρρυθμίσεις αυτές στόχευαν στην ενσωμάτωση της διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών και στη βελτίωση των επιδόσεων των μαθητών του Δημοτικού σχολείου στα μαθηματικά. Σύμφωνα με τις αξιολογήσεις από τα αρμόδια όργανα (NNS, NAPLAN, NAEP) κατά την τελευταία πενταετία διαπιστώνεται η βελτίωση στην επίδοση των μαθητών Δημοτικού στα μαθηματικά. Δεδομένου ότι στην Ελλάδα δεν έχει συσταθεί αντίστοιχο όργανο αξιολόγησης αριθμητισμού, η παρούσα διατριβή επιχειρεί μια απόπειρα να διερευνηθεί η συμβολή των νοερών υπολογισμών στις μαθηματικές πράξεις. Μέχρι πρότινος στη βιβλιογραφία δεν απαντάται εκτενής έρευνα για τους παράγοντες που επηρεάζουν τη χρήση των νοερών υπολογισμών κατά τη διενέργεια των μαθηματικών πράξεων από τους μαθητές. Έτσι, στο παρόν πόνημα τέθηκε ως σκοπός η διερεύνηση και η καταγραφή των λόγων για τους οποίους επέλεξαν οι ίδιοι οι μαθητές να εκτελέσουν τις πράξεις τους με νοερές στρατηγικές. Επιπρόσθετα, στην παρούσα έρευνα διερευνήθηκαν παράγοντες (γλωσσικές στρατηγικές και τα χαρακτηριστικά των προβλημάτων), που πιθανόν να επηρέασαν τη χρήση γενικά των νοερών στρατηγικών από τους μαθητές στην εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων. Έτσι, διαμορφώθηκαν τα εξής ερευνητικά ερωτήματα: 1) Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της εξέλιξης της χρήσης των νοερών υπολογισμών κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης; 2) Οι νοεροί υπολογισμοί συμβάλλουν στην ορθότητα των αριθμητικών πράξεων; 3) Σε ποιες περιπτώσεις των αριθμητικών πράξεων οι μαθητές επιλέγουν τη χρήση των νοερών υπολογισμών; Για την απάντηση των ερευνητικών ερωτημάτων σχεδιάστηκε διδακτική παρέμβαση με ημι-πειραματική προσέγγιση που εκτελέστηκε σε δύο φάσεις, στην πιλοτική και στην τελική της μορφή. Επιπλέον σχεδιάστηκε και η τελική δοκιμή, η οποία υλοποιήθηκε τρεις μήνες αφότου ολοκληρώθηκε η παρέμβαση, ώστε να ελεγχθεί η αποτελεσματικότητά της. Στις διδακτικές παρεμβάσεις υλοποιήθηκε η διδασκαλία για τις στρατηγικές των νοερών υπολογισμών, καθώς και η ανάπτυξη ιδιότυπου λεξιλογίου. Χρησιμοποιήθηκαν λέξεις και φράσεις οι οποίες αντιστοιχίστηκαν σε μαθηματικούς όρους. Η αξιολόγηση της διδακτικής παρέμβασης και της τελικής δοκιμής έγινε με φύλλα εργασίας. Η συλλογή των δεδομένων και η εξαγωγή των αποτελεσμάτων έγιναν με μαγνητοφώνηση, απομαγνητοφώνηση και με την τεχνική της ανάλυσης του περιεχομένου των διαλόγων που αναπτύχθηκαν κατά την αξιολόγηση της παρέμβασης και της τελικής δοκιμής. Επιπλέον, στην τελική δοκιμή πραγματοποιήθηκε και ημιδομημένη συνέντευξη χωριστά με τον κάθε μαθητή. Το σύνολο των παρεμβάσεων συμπεριλαμβανομένων και των πιλοτικών, πραγματοποιήθηκαν με μαθητές της Δ’, Ε’ και ΣΤ’ τάξης του Δημοτικού. Συνολικά έλαβαν μέρος 80 μαθητές. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν για το πρώτο ερευνητικό ερώτημα είναι πως οι παράγοντες που πιθανόν να επηρεάζουν τη χρήση των νοερών υπολογισμών είναι τα γλωσσικά εργαλεία των αντωνυμιών, το μέγεθος και το είδος των αριθμών, η συστηματική διδασκαλία των νοερών υπολογισμών, η διαρκής εξάσκηση στους νοερούς υπολογισμούς, τα λεκτικά προβλήματα. Για το δεύτερο ερευνητικό ερώτημα συμπεραίνεται ότι οι νοεροί υπολογισμοί συμβάλλουν στην ορθότητα των πράξεων, δεδομένο το οποίο προκύπτει από την επιτυχία των πράξεων που εκτελέστηκαν με νοερούς υπολογισμούς στην παρούσα έρευνα, καθώς και από αναφορές από τα όργανα αξιολόγησης άλλων χωρών που επισημαίνουν τη βελτίωση των επιδόσεων των μαθητών έπειτα από τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. Για το τρίτο ερευνητικό ερώτημα προκύπτει πως οι μαθητές αναγνωρίζουν προϋποθέσεις για την εκτέλεση των πράξεων με νοερούς υπολογισμούς σχετικά με τους όρους των πράξεων. Επίσης, οι εκπαιδευτικοί μπορούν να βελτιώσουν τη διδασκαλία τους, εφόσον είναι σε θέση να γνωρίζουν τους λόγους για τους οποίους οι μαθητές επιλέγουν να εκτελέσουν τις πράξεις με νοερούς υπολογισμούς.