Κλασσική και κβαντική θεώρησις χωρικώς ομογενών χωροχρόνων διαστάσεως D=3,4,5

Abstract

The Bianchi Types were originally studied in the context of cosmology. These Types are the simplest generalization of FLRW geometries since, the spatial homogeneity exists, but the three-dimensional surfaces are generally anisotropic. More precisely, instead of the existence of a unique scale factor as in the case of FLRW geometry, there are many, in some cases up to nine. However, as we will see, this number is not real, since with mathematical arguments can be drastically decrease. The search for solutions and their uniqueness, for each Bianchi Type, is not a trivial problem due to the complexity of Einstein’s field equations. The first attempts of the scientific community to solve them were based on intuitive simplifications of the spatial metric, leading eventually to solutions of which the generality and uniqueness were not well defined. The attempts were converted to more mathematically rigorous and complete since the use of the notion of symmetries: symmetries of the spacetime itself and of the Einstein’s differential equations. As we are going to see, the theory of Lie regarding the integration of differential equations by use of their symmetries, eventually leads to the whole solution space for some of the Types, and finally answers the questions of generality and uniqueness. The fundamental role is possessed by the Automorphisms group which indicates the generators of the Lie symmetries. One of the purposes of this thesis is to reveal the importance of the Bianchi Types both in modern cosmology (study of four and five-dimensional spacetimes) as well as in other kind of spacetimes such as pp-wave. At the same time, we wish to make clear the necessity of using the method of Lie point symmetries in order to achieve mathematical completeness and clarity in the integration of a system of differential equations.In particular, this thesis consists of three parts: Part Ι: Theory, Part ΙΙ: Applications, Part ΙΙΙ: Applications in process. In the first part we present the basic theory that we are going to use in the next two parts: I) Lie point symmetries of differential equations, II) (d+1) Analysis, III) Homogeneous hyper-surfaces (“Bianchi” Types), IV) Symmetries of Einstein+Maxwell+fluids equations on homogeneous spacetimes. When it comes to the second part, we present the publications: 1) The solution space of the Einstein’s vacuum field equations for the case of five-dimensional Bianchi Type I (Type 4A1). The solution space of Einstein’s vacuum field equations for the case of five-dimensional Bianchi Type I (Type 4A1) July 26, 2018 Classical and Quantum Gravity 35(14), 145003. We consider the 4+1 Einstein’s field equations (EFE’s) in vacuum, simplified by the assumption that there is a 4D sub-manifold on which an isometry group of dimension four acts simply transitive. In particular, we consider the Abelian group Type 4A1; and thus the emerging homogeneous sub-space is flat. Through the use of coordinate transformations that preserve the submanifold’s manifest homogeneity,a coordinate system is chosen in which the shift vector is zero. The resulting equations remain form invariant under the action of the constant Automorphisms group. This group is used in order to simplify the equations and obtain their complete solution space which consists of seven families corresponding to 21 distinct solutions. Apart form the Kasner type all the other solutions found are, to the best of our knowledge, new. Some of them correspond to cosmological solutions, others seem to depend on some spatial coordinate and there are also pp-wave solutions. 2) Classical and quantum analysis of 3D electromagnetic pp-wave spacetime. Classical and quantum analysis of 3D electromagnetic pp-wave spacetime T Pailas, NDimakis, A Karagiorgos, Petros A Terzis, G O Papadopoulos and T Christodoulakis, 2019 Class.Quantum Grav. 36 135010. The general classical solution of the 3D electromagnetic pp-wave spacetime has been obtained. The relevant line element contains an arbitrary essential function providing an infinite number of in-equivalent geometries as solutions. A classification is presented based on the symmetry group. To the best of our knowledge, the solution corresponding to only one of the Classes is known. The dynamics of some of the Classes was also derived from a mini superspace Lagrangian which has been constructed. This Lagrangian contains a degree of freedom (the lapse) which can be considered either as dynamical or non dynamical (indicating a singular or a regular Lagrangian correspondingly). Surprisingly enough, on the space of classical solutions, an equivalence of these two points of view can be established. The canonical quantization is then used in order to quantize the system for both the singular and regular Hamiltonian. A subsequent interpretation of quantum states is based on a Bohm-like analysis. The semi-classical trajectories deviate from the classical only for the regular Hamiltonian and in particular for a superposition of eigen states (a Gaussian initial state has been used). Thus, the above mentioned equivalence is broken at the quantum level. It is noteworthy that the semi classical trajectories tend to the classical ones in the limit where the initial wave packet is widely spread. Hence, even with this simple superposition state, the classical solutions are acquired as a limit of the semi-classical. 3)Dynamically equivalent ΛCDM equations with underlying Bianchi Type geometry.Dynamically equivalent ΛCDM equations with underlying Bianchi Type geometry. T.Pailas, T. Christodoulakis, JCAP 07 (2019) 029 Solutions have been found for gravity coupled to electromagnetic field and a set of charged and uncharged perfect fluids for Bianchi Types VI(-1), VIII, IX. It has been assumed that the anisotropy is “frozen”, γ_{μν}= α(t)^{2}m_{μν}, whereγ_{μν} and m_{μν} are the spatial metric and some constant matrix respectively. This, according to previous works, results in the existence of a conformal Killing vector field proportional to the fluid velocity of the comoving matter, which guarantees the absence of parallax effects and the independence of the temperature (assuming black body spectrum) from the direction of observation. The electromagnetic field “absorbs” the “frozen” anisotropy and the remaining equations are dynamically equivalent with the equations of CDM. There are solutions with at, negative and positive effective spatial curvature corresponding to the three FLRW classes. Three equations of state for the charged perfect fluid were studied: non-relativistic w = 0, relativistic w = 1/3 and dark energy-like w = -1. For the rest two cases, maximum values exist for the scale factor, in order for the weak energy conditions to be respected, which depend upon the geometric and charged fluid parameters. A minimum value for the scale factor exists (for the solutions to be valid) in all the cases and Types, indicating the absence of initial spacetime singularity (big bang). This minimum value depends upon the geometric and electromagnetic parameters. The number of essential constants in the final form of each metric is the minimum without loss of generality due to the use of the constant Automorphism’s group. A known solution,with the anisotropy absorbed via one free scalar field is reproduced with our method and contains the minimum possible number of parameters. 4) Infinite dimensional symmetry groups of the Friedmann equations Infinite dimensional symmetry groups of the Friedmann equations. T. Pailas, N. Dimakis,Andronikos Paliathanasis, Petros A. Terzis, T. Christodoulakis, Phys. Rev. D 102,063524 (2020)We find the symmetry generators for the Friedman equations emanating from a perfect fluid source in the presence of a cosmological constant term. The relevant dynamics are shown to be governed by two coupled, first order ordinary differential equations, the continuity and the quadratic constraint equation. Arbitrary functions appear in the components of the symmetry vector, indicating the infinity of the group. When the equation of state is considered as arbitrary but ab initio given, previously known results are recovered and/or generalized. When the pressure is considered among the dynamical variables, solutions for models with different equations of state are mapped to each other, thus enabling the presentation of solutions to models with complicated equations of state starting from simple known cases.5)“Time”-Covariant Schrödinger Equation and the Canonical Quantization of the Reissner–Nordström Black Hole“Time”-Covariant Schrödinger Equation and the Canonical Quantization of the Reissner–Nordström Black Hole. Theodoros Pailas, Quantum Reports 2020, 2(3), 414-441.A “time”-covariant Schrödinger equation is defined for the mini superspace model of the Reissner–Nordström (RN) black hole, as a “hybrid” between the “intrinsic time” Schrödinger and Wheeler–DeWitt (WDW) equations. To do so, a reduced, regular, and “time(r)”-dependent Hamiltonian density was constructed, without “breaking” the re-parametrization covariance r = f(~r). As a result, the evolution of states with respect to the parameter r and the probabilistic interpretation of the resulting quantum description is possible, while quantum schemes for different gauge choices are equivalent by construction. The solutions are found for Dirac’s delta and Gaussian initial states. A geometrical interpretation of the wave functions is presented via Bohm analysis. Alongside this, a criterion is presented to adjudicate which, between two singular spacetimes, is “more” or “less” singular. Two ways to adjudicate the existence of singularities are compared (vanishing of the probability density at the classical singularity and semi-classical spacetime singularity). Finally, an equivalence of the reduced equations with those of a 3D electromagnetic pp-wave spacetime is revealed. Finally, when it comes to the third part, we present the analysies carried out so far, related to the possibility of comparing the results of the publication number 3, with observations.

Τα πρότυπα Bianchi μελετήθηκαν αρχικά στο πλαίσιο της κοσμολογίας. Πρόκειται για την απλούστερη γενίκευση του προτύπου FLRW, καθώς διατηρείται η ομογένεια των τρισδιάστατων, χωρικών υπερ-επιφανειών αλλά δεν υπάρχει πλέον η χωρική ισοτροπία. Πιο συγκεκριμένα, αντί να υπάρχει ένας μοναδικός παράγοντας κλίμακας όπως στη περίπτωση των FLRW, έχουμε πολλούς, σε κάποιες περιπτώσεις έως και εννέα. Ωστόσο, όπως θα δούμε παρακάτω, ο αριθμός αυτός δεν είναι πραγματικός, καθώς με διάφορα μαθηματικά επιχειρήματα μπορεί να μειωθεί σημαντικά. Η αναζήτηση λύσεων και επιπλέον η μοναδικότητα αυτών, για το εκάστοτε πρότυπο Bianchi, δεν είναι καθόλου τετριμμένη υπόθεση καθώς, το σύστημα των εξισώσεων Einstein είναι ένα μη-γραμμικό, πεπλεγμένο σύνολο από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Οι πρώτες προσπάθειες που έγιναν από την επιστημονική κοινότητα στην αναζήτηση λύσεων, βασίστηκαν σε διαισθητικές απλοποιήσεις της χωρικής μετρικής, οδηγώντας έτσι σε απλουστεύσεις του συστήματος των εξισώσεων και τελικά στην επίλυση αυτού. Ωστόσο, χωρίς να είναι καλά καθορισμένη η γενικότητα αυτών των λύσεων. Οι προσπάθειες έγιναν μεθοδικές και μαθηματικά πιο πλήρεις από τη στιγμή που άρχισε να χρησιμοποιείται η έννοια της συμμετρίας: Συμμετρίες του ίδιου του χωρόχρονου και συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων Einstein. Όπως θα δούμε παρακάτω, η θεωρία του Lie σχετικά με την ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων με χρήση των συμμετριών τους, οδηγεί στην εύρεση όλου του χώρου λύσεων για κάποια από τα πρότυπα, απαντώντας τελικά και στο ερώτημα της μοναδικότητας. Καθοριστικό ρόλο κατέχει η ομάδα των Αυτομορφισμών η οποία υποδεικνύει τους γεννήτορες των συμμετριών Lie. Ένας από τους σκοπούς αυτής της εργασίας είναι να αναδείξουμε την σημαντικότητα των προτύπων Bianchi τόσο στην σύχρονη κοσμολογία (μελέτη τετραδιάστατων και πενταδιάστατων προτύπων) καθώς και την εμφάνιση τους σε άλλου είδους χωροχρόνους όπως οι pp-wave. Παράλληλα, επιθυμούμε να καταστεί προφανής και η αναγκαιότητα χρήσης της μεθόδου Lie ώστε να επιτευχθεί η μαθηματική πληρότητα στην ολοκλήρωση του συστήματος των εξισώσεων. Συγκεκριμένα, η εργασία αποτελείται από τρία μέρη: Μέρος Ι: Θεωρία, Μέρος ΙΙ: Εφαρμογές, Μέρος ΙΙΙ: Εφαρμογές σε εξέλιξη. Σχετικά με το πρώτο μέρος, παρουσιάζουμε όλη τη βασική θεωρία που θα χρησιμοποιήσουμε στα υπόλοιπα δύο μέρη. Αυτή αποτελείται από τις εξής ενότητες: I) Σημειακές συμμετρίες διαφορικών εξισώσεων, II) (d+1) Ανάλυση, III) Ομογενείς υπερ-επιφάνειες (Κλάσεις “Bianchi”), IV) Συμμετρίες των εξισώσεων Einstein+Maxwell+Ρευστά σε ομογενείς χωροχρόνους. Όσον αφορά το δεύτερο μέρος παρουσιάζουμε τις εργασίες που δημοσιεύθηκαν στο πλαίσιο της διατριβής, συγκεκριμένα: 1) Ο χώρος λύσεων των εξισώσεων Einstein στο κενό, για το (4+1)-διάστατο πρότυπο Bianchi I (Type 4A1).The solution space of Einstein’s vacuum field equations for the case of five-dimensional Bianchi Type I (Type 4A1) July 26, 2018 Classical and Quantum Gravity 35(14), 145003. Αναζητήθηκε ο χώρος των λύσεων των εξισώσεων Einstein στο κενό για την περίπτωση του πενταδιάστατου προτύπου Bianchi Type I (Type 4A1). Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας την ομάδα των Aυτομορφισμών των αλγεβρών Lie, η οποία στην προκειμένη περίπτωση είναι η γενική γραμμική τετραδιάστατη ομάδα, βρέθηκαν 7 οικογένειες λύσεων, 21 διαφορετικές μετρικές εκ των οποίων μόνο οι 5 ήταν γνωστές. Η διαδικασία σαρώνει όλο το χώρο των λύσεων. Για μια από αυτές, αναζητήθηκε μια φυσική ερμηνεία στα πλαίσια της κοσμολογίας βράνης. Το βασικό αποτέλεσμα ήταν πως η ύλη στον τετραδιάστατο χωρόχρονο, αν αναπαρασταθεί με τον τανυστή ενέργειας ορμής ενός ιδανικού ρευστού, τότε ο τετραδιάστατος χωρόχρονος γίνεται FLRW και μπορεί να ερμηνευθεί ως η κίνηση της βράνης στον πενταδιάστατο χωρόχρονο. Ακόμη, εκφράστηκαν οι σταθερές οι οποίες εμφανίζονται μέσα στις λύσεις, σαν συνάρτηση αναλλοίωτων ποσοτήτων, το οποίο εγγυάται πως είναι ουσιώδεις. Επιπλέον, εξετάστηκαν σε μικρό βαθμό οι αλλαγές που θα προκύψουν αν κανείς λάβει υπόψη του και την ύπαρξη κοσμολογικής σταθεράς. 2) Κλασσική και κβαντική ανάλυση 3D ηλεκτρομαγνητικών pp-wave χωροχρόνων. Classical and quantum analysis of 3D electromagnetic pp-wave spacetime T Pailas, NDimakis, A Karagiorgos, Petros A Terzis, G O Papadopoulos and T Christodoulakis, 2019Class. Quantum Grav. 36 135010. Μελετήθηκε το σύστημα των εξισώσεων Einstein-Maxwell στις τρεις διαστάσεις υπό την υπόθεση pp-wave μετρικής. Βρέθηκε όλος ο χώρος λύσεων ο οποίος αποτελείται από δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αποτελείται από τρεις κλάσεις, ενώ η δεύτερη περιγράφεται από μια εξίσωση Riccati η οποία περιέχει μια αυθαίρετη συνάρτηση. Αποδείχθηκε ότι για κάθε διαφορετική μορφή της συνάρτησης προκύπτει και διαφορετική γεωμετρία. Όσον αφορά τις τρεις πρώτες κλάσεις αναπαράχθηκε η λύση μέσω Χαμιλτονιανού φορμαλισμού παρότι η Einstein-Hilbert δράση είναι ταυτοτικά μηδέν λόγω της υποθέσεως pp-wave μετρικής. Η Χαμιλτονιανή περιέχει ένα μη πραγματικό βαθμό ελευθερίας n(t). Οι κλασσικές λύσεις μπορούν να αναπαραχθούν αντιμετωπίζοντας τον μη πραγματικό βαθμό ελευθερίας, είτε ως δυναμική (παραλλαγή της δράσης ως προς n(t)) ή μη δυναμική(αυθαίρετη συνάρτηση του t χωρίς παραλλαγή) μεταβλητή. Στη συνέχεια η κανονική κβάντωση έδωσε τις κυματοσυναρτήσεις του συστήματος. Οι λύσεις (κυματοσυναρτήσεις) προέκυψαν μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger (n(t)=μη δυναμική μεταβλητή) και αντίστοιχα μέσω της Wheeler-DeWitt (n(t)=δυναμική μεταβλητή). Η ερμηνεία των κυματοσυναρτήσεων μέσω της ανάλυσης κατά Bohm οδήγησε σε δυο διαφορετικές ημικλασσικά διορθωμένες μετρικές, υποδεικνύοντας πως έχει αρθεί πλέον η κλασσική ισοδυναμία των δύο θεωρήσεων του n(t). 3) Δυναμικά ισοδύναμες εξισώσεις ΛCDM υπό την ύπαρξη γεωμετρίας Bianchi. Dynamically equivalent ΛCDM equations with underlying Bianchi Type geometry. T.Pailas, T. Christodoulakis, JCAP 07 (2019) 029Σε αυτή την εργασία μελετήθηκαν τα τετραδιάστατα πρότυπα Bianchi υπό την παρουσία ενός σύμμορφου διανυσματικού πεδίου Killing. Συγκεκριμένα, έχοντας χρησιμοποιηθεί η ομάδα των σταθερών αυτομορφισμών η μετρική μετασχηματίζεται στην πλέον ανάγωγη μορφή της. Λόγω του σύμμορφου διανυσματικού πεδίου Killing, υπάρχει ένας μοναδικός παράγοντας κλίμακας με αποτέλεσμα η ανισοτροπία των προτύπων να είναι «παγωμένη»(όχι χρονικώς εξελισόμενη). Υποθέτοντας την ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και φορτισμένης ύλης, μπορεί να «απορροφηθεί» αυτή η παραμένουσα ανισοτροπία, οδηγώντας έτσι τις εξισώσεις να είναι ισοδύναμες με εκείνες του κοσμολογικού προτύπου ΛCDM. Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται σε μαθηματικό επίπεδο, πως η ομογένεια και ισοτροπία της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου δεν οδηγεί μονοσήμαντα στην επιλογή FLRW μετρικής η οποία χρησιμοποιείται στο κοσμολογικό πρότυπο ΛCDM. 4) H απειροδιάστατη ομάδα συμμετρίας των εξισώσεων Friedmann Infinite dimensional symmetry groups of the Friedmann equations. T. Pailas, N. Dimakis, Andronikos Paliathanasis, Petros A. Terzis, T. Christodoulakis, Phys. Rev. D 102,063524 (2020). Θεωρήσαμε γεωμετρία FLRW υπό την παρουσία κοσμολογικής σταθεράς και ενός ιδανικού ρευστού με τυχαία αλλά δοθείσα καταστατική εξίσωση. Αναζητήσαμε τις συμμετρίες των εξισώσεων, θεωρώντας διάφορες παραλλαγές, για παράδειγμα, θεώρηση της πίεσης ως βαθμού ελευθερίας στη μια περίπτωση και ως συνάρτηση της πυκνότητας ενέργειας σε άλλη. Αποδείξαμε πως η ομάδα συμμετρίας είναι απειροδιάστατη. Με την χρήση των συμμετριών, βρήκαμε νέες λύσεις από ήδη γνωστές. Επιπλέον, δείξαμε με ποιόν τρόπο μέσω των συμμετριών, μπορούμε να παράξουμε τις καταστατικές εξισώσεις των διαφόρων κοσμολογικών εποχών, ξεκινώντας από την εποχή του πληθωρισμού. Τέλος, αναζητήσαμε την επίδραση των συμμετριών στο επίπεδο της βασικής θεωρίας. Συγκεκριμένα, θεωρήσαμε ένα βαθμωτό πεδίο και το αντίστοιχο ρευστό με το οποίο αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί. 5) “Χρονικά”-συναλλοίωτη εξίσωση Schrödinger και η κανονική κβάντωση της μελανής οπής Reissner-Nordström“Time”-Covariant Schrödinger Equation and the Canonical Quantization of the Reissner–Nordström Black Hole. Theodoros Pailas, Quantum Reports 2020, 2(3), 414-441. Στη συγκεκριμένη εργασία κατασκευάσαμε μια “χρονικά” συναλλοίωτη εξίσωση Schrödinger για την περίπτωση της μελανής οπής Reissner-Nordström. Ακολουθήσαμε μια διαφορετική μέθοδο από τις υπάρχουσες στη βιβλιογραφία. Η διαφορετικότητα εντοπίζεται στο σημείο αντιμετώπισης της συνδεσμικής εξίσωσης. Συγκεκριμένα, επιλύοντας αυτήν την εξίσωση ως προς τον βαθμό ελευθερίας Lapse, μπορέσαμε να κατασκευάσουμε μια λαγκρανζιανή η οποία είναι μη-ιδιάζουσα (regular) και “χρονικά” εξαρτημένη. Συνεπώς, δεν υπάρχει πλέον συνδεσμική εξίσωση και εμφανίζεται μια παράμετρος μέσα στην λαγκρανζιανή η οποία μπορεί να αντιμετωπιστεί ως παράμετρος “χρόνου”. Επιπλέον, εξακολουθεί να υπάρχει η ελευθερία επιλογής βαθμίδας, επομένως, οι διαφορετικές κβαντικές περιγραφές, για διαφορετικη επιλογή βαθμίδας, είναι εξ’ ορισμού ισοδύναμες. Αποδείξαμε την ισοδυναμία του παραπάνω συστήματος με εκείνο της εργασίας (2), στο επίπεδο των εξισώσεων. Παρουσιάσαμε ένα κριτήριο σχετικά με τα ιδιάζοντα (ανωμαλίες) σημεία: “λιγότερο” ιδιάζων χαρακτηρίζεται εκείνος ο χωρόχρονος του οποίου η ανωμαλία είναι πιο εντοπισμένη γύρω από το σημείο ενδιαφέροντος. Τέλος, εντοπίσαμε μια ασυμφωνία σχετικά με την ύπαρξη ανωμαλίας, μεταξύ της γεωμετρικής ερμηνείας στο πλαίσιο της ανάλυσης Bohm και την πρόταση DeWitt (μηδενική πυκνότητα πιθανότητας στο κλασσικό σημείο ανωμαλίας). Όσον αφορά το τρίτο μέρος της διατριβής, παρουσιάζουμε την έως τώρα ανάλυση που έχει γίνει, σχετικά με την δυνατότητα σύγκρισης των αποτελεσμάτων που παράχθηκαν στην εργασία (3), με παρατηρήσεις.