Κυματική διάδοση σε μέσα με διασπορά : αντίστροφη σκέδαση

Abstract

One of the two things that this thesis focuses on is the modeling of wave propagation in dispersive Cole-Cole media. The Cole-Cole model plays a key role in microwave medical imaging due to the fact that it can describe the frequency dependence of the electromagnetic properties of various biological tissues with great accuracy over a wide frequency range. The main difficulty that arises in the time-domain modeling of Cole-Cole media, is the existence of fractional time derivatives. In the proposed method a Padé approximation is employed resulting in auxiliary differential equations of integer order. A finite-difference time-domain method is developed to solve the differential equations obtained. The comparison of analytical and calculated relative complex permittivity values over wideband frequency domain proves the validity of the method. Furthermore, the second part of the current thesis is associated with the solution of the electromagnetic inverse scattering problem. Specifically, a time-domain inverse scattering method for the reconstruction of inhomogeneous dispersive media described by the Debye as well as the Lorentz model is presented. The method aims to the simultaneous reconstruction of the spatial distributions of the medium parameters. When Debye scatterers are under examination, the optical and static permittivity and the relaxation time are the aforementioned properties. In the case of Lorentz scatterers the unknown parameters are the optical and static permittivity, the resonant frequency and the damping factor. The reconstruction of the scatterer is based on the minimization of a cost functional, which describes the difference between measured and estimated values of the electric field. The fulfillment of the Maxwell's curl equations is set as constraint by means of Lagrange multipliers in an augmented functional. The Fréchet derivatives with respect to the scatterer properties are derived analytically and can be utilized by any gradient-based optimization technique. The proposed reconstruction technique is based on the Polak-Ribière nonlinear conjugate-gradient algorithm, while the FDTD method is employed for the solution of the direct and the adjoint electromagnetic problem. Numerical results for the reconstruction of one-dimensional layered scatterers and two-dimensional ones illustrate the precision of the proposed method

Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με δυο διαφορετικές θεματικές περιοχές του υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού, συνεπώς αποτελείται από δυο κύρια μέρη. Το πρώτο σχετίζεται με την επίλυση του προβλήματος της μοντελοποίησης της ηλεκτρομαγνητικής διάδοσης σε μέσα που παρουσιάζουν διασπορά. Πιο συγκεκριμένα, μελετάμε την κυματική διάδοση παλμού μέσα από σκεδαστές οι οποίοι επιδεικνύουν διασπορά τύπου Cole-Cole. Βασικός λόγος για την επιτυχή και ακριβή προσομοίωση της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, αποτελεί το γεγονός ότι το μοντέλο διασποράς Cole-Cole περιγράφει με μεγάλη ακρίβεια, την εξάρτηση από τη συχνότητα των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων διαφόρων βιολογικών ιστών. Αυτομάτως, η ακριβής προσομοίωση είναι εξόχως σημαντική σε εφαρμογές της μικροκυματικής τομογραφίας (microwave tomography). Η ανάπτυξη κατάλληλης τεχνικής για τη μοντελοποίηση της διάδοσης εντός τέτοιων υλικών παρουσιάζει ιδιαίτερη δυσκολία επειδή η διαφορική εξίσωση διηλεκτρικής πόλωσης δεν είναι ακέραιης τάξης. Η προτεινόμενη μεθοδολογία βασίζεται στη χρήση αναπτύγματος Padé με σκοπό την παράκαμψη της προαναφερθείσας δυσκολίας και καταλήγει στην υιοθέτηση βοηθητικής διαφορικής εξίσωσης (auxiliary differential equation), για την προσέγγιση της εξίσωσης πόλωσης. Στη συνέχεια, προτείνεται ένα σχήμα πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD scheme), για την ακριβή του προβλήματος διάδοσης. Μετά την ολοκλήρωση της μαθηματικής θεμελίωσης της μεθοδολογίας, παρατίθενται αριθμητικά παραδείγματα και που αποδεικνύουν την εγκυρότητα και την αποτελεσματικότητά της. Το δεύτερο μέρος της διδακτορικής διατριβής σχετίζεται με τη θεματική περιοχή της αντίστροφης ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης. Πιο συγκεκριμένα, το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται η ανακατασκευή των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων συχνοεξαρτώμενων σκεδαστών, οι οποίοι περιγράφονται από τα μοντέλα Debye ή Lorentz. Η προτεινόμενη μέθοδος αποσκοπεί στην ταυτόχρονη ανακατασκευή των ιδιοτήτων του κάθε σκεδαστή. Στην περίπτωση σκεδαστών Debye, οι ιδίοτητες προς εκτίμηση είναι η οπτική διηλεκτρική σταθερά, η στατική διηλεκτρική σταθερά και χρόνος χαλάρωσης ενώ στην περίπτωση μέσου Lorentz, οι εκτιμώμενες ιδιότητες είναι η οπτική διηλεκτρική σταθερά, η στατική διηλεκτρική σταθερά, η συχνότητα συντονισμού και ο συντελεστής απόσβεσης. Η ανακατασκευή των σκεδαστών βασίζεται στην ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης κόστους, η οποία διαφέρει κατά περίπτωση και περιγράφει την διαφορά μεταξύ του μετρούμενων και εκτιμώμενων ηλεκτρικών πεδίων. Οι εξισώσεις του Maxwell εισάγονται στην συνάρτηση ως περιορισμοί ισότητας μέσω της χρήσης πολλαπλασιαστών Lagrange. Η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους καταλήγει στον ορισμό των παραγώγων Fréchet ως προς τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του σκεδαστή. Οι παράγωγοι αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν από οποιοδήποτε αλγόριθμο βελτιστοποίησης που βασίζεται στη χρήση των κλίσεων της συνάρτησης κόστους. Στην προτεινόμενη τεχνική αντιστροφής εφαρμόζεται ο αλγόριθμος βελτιστοποίησης Polak-Ribière, ενώ η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιείται για την επίλυση του ευθέος καθώς και του προσαρτημένου προβλήματος σκέδασης. Τα αριθμητικά παραδείγματα αφορόυν στην ανακατασκευή μονοδιάστατων ή δισδιάστατων σκεδαστών Debye και Lorentz και παρουσιάζουν την ταυτόχρονη ανακατασκευή των ιδιοτήτων του σκεδαστή.