Formation of large-scale structures by turbulence in rotating planets

Abstract

This thesis presents a newly developed theory for the formation and maintenance of eddy-driven jets in planetary turbulence. The novelty is that jet formation and maintenance is studied as a dynamics of the statistics of the flow rather than dynamics of individual realizations. This is pursued using Stochastic Structural Stability Theory (S3T) which studies the closed dynamics of the first two cumulants of the full statistical state dynamics of the flow by neglecting or parameterizing the third and higher-order cumulants. S3T is an analytical, predictive and quantitative theory for turbulence that proceeds directly from the equations of motion and provides a way of finding turbulent statistical equilibria and determining their stability. Instability of the statistics of the flow signifies transition of the turbulent regime to a new regime. With this statistical closure large-scale structure formation is studied in barotropic turbulence on a beta-plane. By studying the dynamics of the statistical state novel phenomena are predicted such as: the instability of homogeneous turbulence to jet formation, the establishment of turbulent equilibria, the prediction of multiple turbulent equilibria, jet merging bifurcations, and the existence of latent jets. Although these phenomena cannot be predicted by analysis of the dynamics of single realizations of the flow, it is demonstrated that the predictions of the statistical theory are reflected in individual realizations of the flow. It is further demonstrated that at analytically predicted critical parameter values the homogeneous turbulent state undergoes a bifurcation and becomes inhomogeneous with the emergence of large-scale zonal and/or non-zonal flows. The mechanisms by which the turbulent Reynolds stresses organize to reinforce infinitesimal mean flow inhomogeneities, thus leading to this statistical state instability, are extensively studied for various regimes of parameter values (planetary vorticity gradient, dissipation rate and turbulent energy injection rate) and it is shown that for small and modest values of planetary vorticity gradient, beta, the upgradient fluxes responsible for the formation and maintenance of large-scale structure are induced by the Orr mechanism, while for large beta by resonant wave triads. It is demonstrated that the S3T instabilities equilibrate to finite amplitude jets, in agreement with the jets that develop in individual simulations. The relation between the formation of large-scale structure through modulational instability and the S3T instability of the homogeneous turbulent state is also investigated and it is shown that the modulational instability results are subsumed by the S3T results. The study of the S3T stability of inhomogeneous turbulent jet equilibria is also presented and the relation with the phenomenon of jet merging is investigated. Methods for finding inhomogeneous statistical turbulent equilibria and also for studying their stability are developed.

Παρουσιάζεται μία θεωρία που αναπτύχθηκε πρόσφατα για το σχηματισμό και την συντήρηση αεροχείμαρρων στις ατμόσφαιρες πλανητών. Η καινοτομία της θεωρίας αυτής είναι ότι αντιμετωπίζει το σχηματισμό και τη συντήρηση των αεροχείμαρρων όχι μέσω της μελέτης της δυναμικής ανεξαρτήτων τροχιών του ρευστού στο θεσεογραφικό χώρο αλλά μέσω της μελέτης της δυναμικής που υπακούει η ίδια η στατιστική των τροχιών αυτών. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της Θεωρίας Στοχαστικής Δομικής Ευστάθειας (Stochastic Structural Stability Theory - S3T) η οποία μελετά το κλειστό δυναμικό σύστημα που περιγράφει τη δυναμική των δύο πρώτων στατιστικών ροπών της πλήρους στατιστικής δυναμικής της ροής, αγνοώντας ή παραμετροποιώντας ροπές τρίτης και ανώτερης τάξεως. Η S3T αποτελεί μια αναλυτική, προγνωστική και ποσοτική θεωρία της τυρβώδους κατάστασης η οποία προκύπτει απευθείας από τις εξισώσεις κινήσεις. Μας παρέχει ένα τρόπο εύρεσης στατιστικών τυρβώδων καταστάσεων ισορροπίας και επίσης τρόπο μελέτης της ευστάθειας αυτών. Αστάθεια της στατιστικής δυναμικής της ροής υπονοεί μετάβαση της τύρβης σε μια κατάσταση. Μέσω αυτού του στατιστικού κλεισίματος (closure) γίνεται μελέτη του σχηματισμού δομών μεγάλης κλίμακας σε βαροτροπική τύρβη σε β-επίπεδο. Μελετώντας τη δυναμικής της στατιστικής κατάστασης μία σειρά από νέα φαινόμενα μπορούν να προβλεφθούν, όπως: η ύπαρξη στατιστικών τυρβώδων καταστάσεων ισορροπίας, η αστάθεια τις ομοιογενούς τυρβώδους κατάστασης ως προς το σχηματισμό ζωνικών ροών, συγχωνεύσεις αεροχείμαρρων ως διακλαδώσεις της στατιστικής δυναμικής και η ύπαρξη λανθανουσών ζωνικών ροών (latent jets). Ενώ όλα αυτά τα φαινόμενα δεν μπορούν να προβλεφθούν με τη μελέτης της δυναμικής ανεξαρτήτων τροχιών του ρευστού στο θεσεογραφικό χώρο, επιδεικνύεται ότι οι προβλέψεις της στατιστικής δυναμικής αντικατοπτρίζονται σε τέτοιες τροχιές της ροής. Ως προς το σχηματισμό των δομών μεγάλης κλίμακας δείχνεται ότι σε κάποιες κρίσιμες τιμές των παραμέτρων, οι οποίες προβλέπονται αναλυτικά, γίνεται μία διακλάδωση και η στατιστικά ομοιογενής τυρβώδης κατάσταση γίνεται ανομοιογενής με την εμφάνιση είτε ζωνικών είτε μη-ζωνικών ροών μεγάλης κλίμακας. Οι μηχανισμοί με τους οποίους οι τάσεις Reynolds από τις τυρβώδεις κινήσεις του υγρού οργανώνονται ούτως ώστε να ενισχύσουν μία απειροστή μέση ροή, οδηγώντας έτσι σε στατιστική αστάθεια, μελετώνται διεξοδικά για διάφορες περιοχές των παραμέτρων (της κλίσης της πλανητικής στροβιλότητας, του ρυθμού ανάλωσης λόγω απόσβεσης και του ρυθμού εισροής ενέργειας στη ροή). Δείχνεται ότι για μικρές και μεσαίες τιμές της κλίσης της πλανητικής στροβιλότητας, β, η ροή ορμής σε κατεύθυνση αντίθετα από αυτήν της βαθμίδας (upgradient momentum flux), η οποία είναι υπεύθυνη για το σχηματισμό των δομών μεγάλης κλίμακας, επάγεται μέσω του μηχανισμού Orr, ενώ για μεγάλες τιμές της β μέσω συντονισμού από τριάδες κυμάτων. Δείχνεται επίσης ότι οι S3T αστάθειες εξισορροπούνται σε πεπερασμένο πλάτος, σε συμφωνία με τις ζωνικές ροές που σχηματίζονται σε αριθμητικές προσομοιώσεις των εξισώσεων κίνησης. Διερευνάται επίσης η σχέση μεταξύ του σχηματισμού δομών μεγάλης κλίμακας μέσω της διαμορφωτικής αστάθειας (modulational instability) και της S3T αστάθειας της ομοιογενούς τυρβώδους κατάστασης και δείχνεται ότι η διαμορφωτική αστάθεια δεν είναι παρά μία ειδική περίπτωση της S3T αστάθειας. Τέλος, γίνεται μελέτη της S3T ευστάθειας ανομοιογενών στατιστικών τυρβώδων καταστάσεων στις οποίες υπάρχουν ζωνικές ροές μεγάλης κλίμακας και διερευνάται η σχέση των S3T ασταθειών που προκύπτουν με το φαινόμενο συγχώνευσης αεροχείμαρρων. Αναπτύσσονται μέθοδοι εύρεσης ανομοιογενών στατιστικών τυρβώδων καταστάσεων καθώς επίσης και μελέτης της ευστάθειας αυτών.