Two-time response excitation theory for non linear stochastic dynamical systems

Abstract

In the context of probabilistic modeling uncertain parameters/functions are quantified as random. Ingeneral, the characterization of random functions is a difficult task involving the knowledge of thehierarchy of the probability distributions of all orders or, equivalently, the knowledge of thecharacteristic functional. If random parameters/functions enter either as random initial conditions or asinput/excitation (external and/or parametric) to dynamical systems, then the systems output/responsewill also be a random function. In case that the dynamics can be modeled by means of differentialequations these equations are called Random Differential Equations (RDEs). The difficulty ofcalculating the probabilistic characteristics of the response is drastically reduced when we assume thatthe stochastic excitation is delta correlated. However, this assumption is not plausible when thecorrelation time of the excitation is of the same order of magnitude as the system’s relaxation time, asis the case for macroscopic dynamical systems, e.g. for systems excited by sea waves, wind loads, orearthquakes. In this case the excitation can be realistically modelled by smoothly correlated (colored)random functions. RDEs with colored excitation (also known as generalized Langevin equations)involve an increased amount of complexity due to the fact that in order to obtain system’s responseprobabilistic structure one has to consider infinite dimensional differential equations. Although thegeneral case of smoothly-correlated excitation is the most interesting case for many applications inengineering and applied sciences, existing methodologies fail to treat it in a satisfactory way.In response to this situation, the response-excitation (RE) theory, a new method for the probabilisticcharacterization of any non-linear system with any type of smoothly-correlated random excitation, hasbeen recently introduced by Athanassoulis & Sapsis (2006) and Sapsis &Athanassoulis (2008). TheRE theory, proposes the joint treatment of the probabilistic structure of the response and the excitation,leaving the space for their stochastic dependence to be determined during the solution of the problem.Athanassoulis and Sapsis used the characteristic functional approach to derive an equation for the jointRE characteristic functional and showed that, by appropriately projecting this infinite dimensionalequation, it is possible to obtain equations for the evolution of the joint response-excitation probabilitydensity function (REPDF). The derived joint REPDF evolution equation is a peculiar one, involvingtwo times (one for the excitation, s, and one for the response, t ), and partial derivatives only withrespect to one of them (response time), whereas, after the differentiation, the limit of the excitationtime st should be taken. I.e., the REPDF evolution equation includes the “half-time” derivative( ) ( ) ( ) / x t y s s tf t¶ a,b ¶ . This peculiarity gives rise to fundamental questions regarding both the wellposednessand the methods of its numerical solution. While working on this thesis, it became evidentthat the joint REPDF evolution equation of Athanassoulis and Sapsis in not a closed equation, and thuscannot provide a unique REPDF. The same finding has also been stated recently by Venturi et al(2012). This is due to the fact that when the half time limit ( ) ( ) ( ) / x t y s s tf t¶ a,b ¶ is considered thenon-local (in time) characteristics of the problem are partially lost. The present work continues thestudy of the RE theory, aiming at the clarification of various obscure points, and its furtherdevelopment towards the implementation of efficient algorithms for numerical solutions.In the first part of this thesis, the RE theory, introduced by Athanassoulis and Sapsis, is reviewed andgeneralized to second-order nonlinear systems. The joint REPDF evolution equation for non-lineardynamical systems under smoothly-correlated stochastic excitation is re-derived, using thecharacteristic functional approach. To verify the validity of the obtained equations, the latter have beenused to re-derive the infinite system of the limiting two-time moment equations, which are alsoobtained directly from the dynamical system. Finally the joint REPDF evolution equation is specifiedto the case of the ship roll problem.Subsequently, a well-studied, simple problem is considered in the context of the RE theory. Moreprecisely, the two-time RE moment equations are developed for a linear scalar dynamical systemunder colored stochastic excitation. These equations are solved analytically and results are obtainedfor different stochastic input functions. For Gaussian excitation, a complete analytical solution of thestudied problem, both in the transient and in the long-time statistical equilibrium state, is produced.The analytical solution of this simple problem is used in order to verify/clarify the REPDF evolution equation for linear RDEs, and prove that it can have multiple solutions. Thus, the need for an a prioriclosure of the REPDF evolution equation, providing additional information about the RE correlationstructure, becomes evident. The formulation and implementation of an efficient closure of this type isone of the fundamental contributions of this Thesis.The findings from the study of the linear/Gaussian case are generalized for the non-linear/non-Gaussian case, drawing, also, on evidence gained looking into Monte Carlo (MC) simulations results,performed by Z.G. Kapelonis. In fact, in the long-time statistical equilibrium state the joint REPDFtends to concentrate around the equilibrium curve of deterministic problems realized on the RE-phasespace. Reclaiming these findings, new, auxiliary, local conditions are developed in the RE-phasespace, by the use of local linearizations/Gaussianizations around the equilibrium curve of the nonlinearscalar dynamical system in the long-time. These, analytically solvable, local conditions, cansuccessfully approximate the local RE correlation structure as is verified by comparisons with resultsobtained by MC simulations and, therefore, can be used to form a new a priori closure scheme for thenon-linear REPDF evolution equation. The analytically obtained local closure information for the REcorrelation structure is synthesized in the REPDF evolution equation by the use of an appropriaterepresentation of the two-time joint REPDF, consisting of a superposition of Gaussian Kernels. Thereformulated REPDF evolution equation, together with the new local closure conditions, isnumerically solved using a Galerkin scheme. This allows for the specific structure of the consideredRDE to enter in the Galerkin coefficients both explicitly thought their dependence from the equationsof the dynamical system to be solved and implicitly through the Kernel coefficients which containinformation from the family of the localized problems. The Galerkin coefficients, having the form ofproducts of polynomials with bi-dimensional Gaussian densities are analytically calculated, and theproblem is solved as a constraint minimization problem. This Galerkin scheme has been used for thedetermination of the joint RE probabilistic characteristics of a half-oscillator, subject to asymptoticallystationary, colored, Gaussian or non-Gaussian (cubic Gaussian) excitation. The obtained results aresatisfactorily compared with solutions obtained from MC simulations for the same problem.The selection of the appropriate computational domain for the numerical solution of the joint REPDFevolution equation in the long-time, initiated the development of a new methodology for theformulation and solution of a system of two-time RE moment equations. These equations can apply toany non-linear system with arbitrary polynomial non-linearities, excited by colored Gaussian orpolynomially non-Gaussian processes. More precisely, moment equations for the response mean valuemx (t) , the two-time RE cross-covariance Cxy (t, s) , two-time response auto-covariance Cxx (t, s) andtime-diagonal response auto-covariance Cxx (t, t) are derived directly from the dynamical system. AGaussian closure condition is, then, applied in order to eliminate the higher order moments from thetwo-time moment equations. Following the Gaussian closure, considering s as a parameter, thederived equations can be considered as linear ODEs with respect to t , having coefficients dependedon the time-diagonal moments. The equation for Cxy (t, s) is used to express Cxy (t,t) as a non-linear,non-local in time (causal) operator on the whole history of mx (u) and Cxx (u , u) , t0 £ u £ t . Usingthe obtained operator for Cxy (t,t) , a closed, non-linear, causal system of evolution equations formx (t) ,Cxx (t, t) is obtained. After solving this causal system, the two-time moments can be calculatedfor all ( t , s ) pairs as well. Results obtained by the direct solution of the two-time RE momentequations in the long-time, statistical equilibrium limit are presented. Moreover, a first idea on a bi-Gaussian moment closure scheme that could extend the presented methodology to bi-stable halfoscillators in the long-time limit is discussed. Obtained results are compared with MC simulationssatisfactorily in the mono-stable case. In the bi-stable case the discussed bi-Gaussian moment closurescheme gives acceptable, preliminary, results only for the time-diagonal moments and the two-timeRE cross-correlation, whereas, in its present form, fails to approximate the two-time response autocorrelation

Στo πλαίσιo της πιθανοθεωρητικής μοντελοποίησης οι παράμετροι/συναρτήσεις που ενέχουναβεβαιότητα μοντελοποιούνται ως τυχαίες. Γενικά, ο χαρακτηρισμός των τυχαίων συναρτήσεων είναιμια δύσκολη εργασία καθώς αφορά τη γνώση της ιεραρχίας των κατανομών πιθανότητας όλων τωντάξεων ή, ισοδυνάμως, τη γνώση του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Όταν οι αρχικές συνθήκεςή/και η τυχαία είσοδος/διέγερση (εξωτερική ή/και παραμετρική) δυναμικών συστημάτωνμοντελοποιούνται από τυχαίες παραμέτρους/συναρτήσεις, τότε η έξοδος/απόκριση του συστήματος θαείναι επίσης μια τυχαία συνάρτηση. Στην περίπτωση που η δυναμική του συστήματος μπορεί ναμοντελοποιηθεί με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται τυχαίεςδιαφορικές εξισώσεις (ΤΔΕ). Η δυσκολία του υπολογισμού των πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικώντης απόκρισης μειώνεται δραστικά όταν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση συσχέτισης της στοχαστικήςδιέγερσης μπορεί να μοντελοποιηθεί από μια συνάρτηση δέλτα. Εντούτοις, αυτή η υπόθεση δεν είναιευλογοφανής όταν ο χρόνος συσχέτισης της διέγερσης είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τον χρόνοηρεμίας του συστήματος, όπως συμβαίνει σε μακροσκοπικά δυναμικά συστήματα π.χ. συστήματα πουδιεγείρονται από θαλάσσια κύματα, φορτία ανέμου, ή σεισμούς. Σε αυτή την περίπτωση η διέγερσημπορεί να μοντελοποιηθεί ρεαλιστικά από τυχαίες συναρτήσεις με λείες συναρτήσεις συσχέτισης(ομαλή διέγερση). Οι τυχαίες διαφορικές εξισώσεις με ομαλή διέγερση (γνωστές και ως γενικευμένεςεξισώσεις Langevin) εμπεριέχουν αυξημένη πολυπλοκότητα λόγω του ότι, προκειμένου ναχαρακτηρίσει κανείς πιθανοθεωρητικά την απόκριση, πρέπει να θεωρήσει απειροδιάστατες διαφορικέςεξισώσεις. Παρά το γεγονός ότι η γενική περίπτωση τυχαίων διεγέρσεων με λείες συναρτήσειςσυσχέτισης παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον στη μηχανική και στις εφαρμοσμένες επιστήμες, οιυπάρχουσες μεθοδολογίες αποτυγχάνουν να την αντιμετωπίσουν ικανοποιητικά.Σε απάντηση αυτής της κατάστασης η θεωρία απόκρισης-διέγερσης (ΑΔ), μια νέα μέθοδος για τονπιθανοθεωρητικό χαρακτηρισμό κάθε μη-γραμμικού συστήματος υπό κάθε τύπου τυχαία διέγερση μελεία συνάρτηση συσχέτισης, εισήχθη πρόσφατα από τους Αθανασούλη & Σαψή (2006) και Σαψή καιΑθανασούλη (2008). Η θεωρία ΑΔ, προτείνει την από κοινού αντιμετώπιση της πιθανοθεωρητικήςδομής της απόκρισης και της διέγερσης, αφήνοντας χώρο για τον καθορισμό της στοχαστικής τουςεξάρτησης κατά την επίλυση του προβλήματος. Οι Αθανασσούλης και Σαψής χρησιμοποιώντας τημέθοδο του χαρακτηριστικού συναρτησιακού έδειξαν ότι, προβάλλοντας κατάλληλα τηναπειροδιάστατη εξίσωση, είναι δυνατό να παραχθούν εξισώσεις για την εξέλιξη της από κοινούσυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) της απόκρισης και της διέγερσης. H παραχθείσα εξίσωσηεξέλιξης της από κοινού σππ απόκρισης και διέγερσης (σππΑΔ) παρουσιάζει ιδιαιτερότητες καθώςπεριέχει δυο χρόνους (έναν για την διέγερση, s, και έναν για την απόκριση, t ), και μια μερικήπαραγώγο μόνο ως προς έναν από αυτούς (χρόνο απόκρισης), ενώ, μετά την παραγώγιση, πρέπει ναλαμβάνεται το όριο του χρόνου διέγερσης st . Δηλαδή η σππΑΔ συμπεριλαμβάνει την παράγωγο«μισού χρόνου» ( ) ( ) ( ) / x t y s s tf t¶ a,b ¶ . Αυτή η ιδιαιτερότητα προκάλεσε βασικά ερωτήματα σχετικάμε το αν η εξίσωση είναι καλά ορισμένη αλλά και ως προς τη μέθοδο αριθμητικής της επίλυσης. Κατάτη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής έγινε φανερό ότι η σππΑΔ των Αθανασούλη καιΣαψή δεν είναι κλειστή και άρα δεν μπορεί να προσδιορίσει κατά μοναδικό τρόπο την από κοινούσππΑΔ. Το ίδιο εύρημα διατυπώθηκε πρόσφατα από τους Venturi et al (2012). Αυτό οφείλεται στογεγονός ότι όταν λαμβάνεται το όριο «μισού χρόνου» ( ) ( ) ( ) / x t y s s tf t¶ a,b ¶ τα μη-τοπικά (στοχρόνο) χαρακτηριστικά του προβλήματος μερικώς χάνονται. Η παρούσα εργασία συνεχίζει την μελέτητης θεωρίας ΑΔ, με σκοπό να ξεκαθαρίσει κάποια ασαφή σημεία και να την αναπτύξει περαιτέρωαποσκοπώντας στην εφαρμογή αποτελεσματικών αλγορίθμων για αριθμητικές λύσεις.Στο πρώτο μέρος της εργασίας αυτής, η θεωρία ΑΔ, που εισήχθη από τους Αθανασούλη και Σαψή,επανεξετάζεται και γενικεύεται σε μη-γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξεως. Η εξίσωση εξέλιξης τηςαπό κοινού σππΑΔ για μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα υπό λεία στοχαστική διέγερση παράγεταιξανά με τη χρήση της μεθόδου του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Για να επαληθευτεί η ισχύς τωνπαραχθεισών εξισώσεων, οι τελευταίες χρησιμοποιούνται για την παραγωγή εκ νέου του άπειρουσυστήματος οριακών εξισώσεων ροπών δυο χρόνων, οι οποίες μπορούν να παραχθούν και απευθείας από το δυναμικό σύστημα. Τέλος, η εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ συγκεκριμενοποιείταιγια την περίπτωση του προβλήματος της κίνησης διατοιχισμού πλοίου (ship roll ploblem).Στη συνέχεια ένα ευρέως μελετημένο, απλό πρόβλημα εξετάζεται στα πλαίσια της θεωρίας ΑΔ.Συγκεκριμένα αναπτύσσονται οι εξισώσεις ροπών ΑΔ δύο χρόνων για ένα γραμμικό βαθμωτόδυναμικό σύστημα υπό ομαλή διέγερση. Αυτές οι εξισώσεις λύνονται αναλυτικά, ενώ αποτελέσματαλαμβάνονται για διαφορετικές περιπτώσεις στοχαστικής διέγερσης. Για κανονική (Gaussian)διέγερση, λαμβάνουμε μια πλήρη αναλυτική λύση του υπό εξέταση προβλήματος, τόσο στηνμεταβατική όσο και στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας σε μεγάλους χρόνους. Η αναλυτικήλύση αυτού του απλού προβλήματος χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να επαληθεύσει/αποσαφηνίσειτην εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ για γραμμικές ΤΔΕ, και να αποδείξει ότι αυτή δέχεταιπερισσότερες από μία λύσεις. Επομένως, αναδεικνύεται η ανάγκη συμπλήρωσης της εξίσωσηςεξέλιξης της από κοινού σππΑΔ με επιπλέον συνθήκες οι οποίες είναι ικανές να παρέχουν επιπλέονπληροφορία για τη δομή συσχέτισης της απόκρισης και της διέγερσης του συστήματος. Μια από τιςθεμελιώδεις συμβολές της παρούσας διατριβής αποτελεί και η ανάπτυξη και εφαρμογή ενόςαποτελεσματικού σχήματος που οδηγεί σε κλειστές λύσεις της εξίσωσης εξέλιξης της από κοινούσππΑΔ.Τα ευρήματα από τη μελέτη της γραμμικής/Gaussian περίπτωσης γενικεύονται στη μη-γραμμική/μη-Gaussian περίπτωση αξιοποιώντας, επιπλέον, ευρήματα που προέκυψαν από τη μελέτηαποτελεσμάτων προσομοιώσεων Monte Carlo (MC) οι οποίες πραγματοποιήθηκαν από τον ΖαχαρίαΓ. Καπελώνη. Συγκεκριμένα, σε μεγάλους χρόνους η από κοινού σππΑΔ τείνει να συγκεντρώνεταιγύρω από την καμπύλη ισορροπίας των ντετερμινιστικών προβλημάτων που πραγματοποιούνται στοχώρο ΑΔ. Λαμβάνοντας υπόψη τα ευρήματα αυτά, παράγονται νέες τοπικές (στο χώρο απόκρισης-διέγερσης), από κοινού εξισώσεις ροπών ΑΔ δύο χρόνων, χρησιμοποιώντας τοπικέςγραμματικοποιήσεις/κανονικοποιήσεις (linearizations/Gaussianizations) γύρω από την καμπύληισορροπίας του μη-γραμμικού βαθμωτού συστήματος σε μεγάλους χρόνους. Οι τοπικές εξισώσειςεπιλύονται αναλυτικά για διάφορες περιπτώσεις. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται ικανοποιητικά μεαποτελέσματα από προσομοιώσεις ΜC και επομένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για νασχηματίσουν ένα νέο σχήμα που συμπληρώνει, a priori, τη μη-γραμμική εξίσωση εξέλιξης της απόκοινού σππΑΔ. Η πληροφορία για την τοπική δομή συσχέτισης της απόκρισης και της διέγερσης πουλαμβάνεται αναλυτικά μέσω των νέων εξισώσεων συντίθεται με την εξίσωσης εξέλιξης της απόκοινού σππΑΔ με τη χρήση κατάλληλης αναπαράστασης αποτελούμενης από Gaussian Kernels, ηοποία μπορεί να «φέρει» την επιπλέον πληροφορία στην αρχική εξίσωση. Η αναδιαμορφωμένηεξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ μαζί με τις νέες συμπληρωματικές εξισώσεις επιλύονταιαριθμητικά μέσω ενός σχήματος επίλυσης τύπου Galerkin. Mε τον τρόπο αυτό εισάγεται η δομή τηςσυγκεκριμένης ΤΔΕ στους συντελεστές Galerkin τόσο άμεσα, μέσω της εξάρτησης τους από τηνεξίσωση του προς επίλυση δυναμικού συστήματος, όσο και έμμεσα, μέσω των παραμέτρων τωνKernel που περιέχουν πληροφορίες από την οικογένεια των τοπικών εξισώσεων. Οι συντελεστές τουσχήματος Galerkin, έχουν τη μορφή γινομένων πολυωνύμων με δυσδιάστατες Gaussian κατανομέςκαι μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά, ενώ τελικά το πρόβλημα λύνεται ως πρόβλημαελαχιστοποίησης υπό περιορισμούς. Αυτό το σχήμα Galerkin χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμότων από κοινού πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικών ΑΔ ενός βαθμωτού ταλαντωτή υπό ασυμπωτικάστάσιμη, ομαλή Gaussian ή μη-Gaussian (κυβική Gaussian) διέγερση. Τα αποτελέσματα συγκρίνονταιμε επιτυχία με αποτελέσματα προσομοιώσεων που παρήχθησαν μέσω MC προσομοιώσεων για το ίδιοπρόβλημα.Η επιλογή του κατάλληλου υπολογιστικού πεδίου για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης εξέλιξηςτης από κοινού σππΑΔ σε μεγάλους χρόνους, έδωσε το έναυσμα για την ανάπτυξη μιας νέαςμεθοδολογίας για τον σχηματισμό και την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων ροπών δυο χρόνων.Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μη-γραμμικό σύστημα με πολυωνυμικές μη-γραμμικότητες, που διεγείρεται από ομαλές Gaussian ή (πολυωνυμικά) μη-Gaussian τυχαίεςδιαδικασίες. Συγκεκριμένα, εξισώσεις ροπών για τη μέση τιμή της απόκρισης mx (t) , τη συνάρτησησυνδιακύμανσης ΑΔ δύο χρόνων Cxy (t, s) , τη συνάρτηση αυτοδιακύμανσης ΑΔ δυο χρόνωνCxx (t, s) και τη συνάρτηση αυτοδιακύμανσης στη διαγώνιο των χρόνων Cxx (t, t) παράγονται απευθείας από το δυναμικό σύστημα. Η υπόθεση ότι οι τυχαίες συναρτήσεις είναι Gaussian (Gaussianclosure condition) τίθεται στη συνέχεια προκειμένου να εξαλειφθούν οι ροπές ανώτερης τάξης από τιςεξισώσεις ροπών δυο χρόνων. Μετά την εφαρμογή της υπόθεσης αυτής, θεωρώντας το χρόνο s ωςπαράμετρο, οι εξισώσεις που παίρνουμε μπορούν να θεωρηθούν ως γραμμικές συνήθεις διαφορικέςεξισώσεις ως προς το χρόνο t , έχοντας παραμέτρους που εξαρτώνται από τις ροπές στη διαγώνιο τωνχρόνων. Η εξίσωση για την Cxy (t, s) χρησιμοποιείται για να εκφράσει την Cxy (t,t) ως έναν μη-γραμμικό, μη-τοπικό στο χρόνο (αιτιατό) τελεστή πάνω σε όλη την ιστορία των mx (u) και Cxx (u , u) ,για t0 £ u £ t . Χρησιμοποιώντας τον τελεστή για το Cxy (t,t) λαμβάνεται ένα κλειστό, μη-γραμμικόαιτιατό σύστημα από εξισώσεις εξέλιξης για τις mx (t) ,Cxx (t,t) . Μετά την επίλυση του αιτιατού συ-στήματος μπορούν να υπολογιστούν οι ροπές δυο χρόνων για όλα τα ζεύγη ( t , s ) . Παρουσιάζονταιαποτελέσματα από την επίλυση των εξισώσεων ροπών ΑΔ δύο χρόνων στην κατάσταση στατιστικήςισορροπίας, σε μεγάλους χρόνους. Επίσης, αποσκοπώντας στην επέκταση της μεθοδολογίας σεβαθμωτούς ταλαντωτές με δυο σημεία ευστάθειας (bi-stable), σε μεγάλους χρόνους, παρουσιάζονταικάποιες πρώτες ιδέες για ένα σχήμα στο οποίο τίθεται, εναλλακτικά, η υπόθεση ότι οι τυχαίεςσυναρτήσεις είναι μια υπέρθεση από δυο Gaussian τυχαίες συναρτήσεις (bi-Gaussian closurecondition). Στην περίπτωση συστημάτων με ένα σημείο ευστάθειας τα αποτελέσματα πουλαμβάνονται συγκρίνονται ικανοποιητικά με αποτελέσματα από προσομοιώσεις MC. Στην περίπτωσησυστημάτων με δύο σημεία ευστάθειας το υπό συζήτηση σχήμα δίνει αποδεκτά αποτελέσματα για τιςροπές στην διαγώνιο των χρόνων και για τη συνάρτηση διασυσχέτισης ΑΔ δύο χρόνων ενώ, υπό τηνπαρούσα μορφή του σχήματος, οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης δεν προσεγγίζονται επιτυχώς.