Γεωμετρία των L_q κεντροειδών σωμάτων

Abstract

The second chapter contains the basic definitions and clasical theorems of asymptotic convex geometry which we will use. In the third chapter we give the definitions of the logarithmically concave probability measures and the isotropic logarithmically concave probability measures and the concetration properties which they have.We give the definitions of L_q centroid bodies and we describe their properties.In the forth chapter we describe the local structure of L_q centroid bodies and the first basic theorem is about the projection of the L_q centroid bodies. We give upper bound of covering numbers of the eucledian ball of the L_q centroid bodies and as a consiquense we give upper bound the averange norm of L_q centroid bodies. Finally we get upper bound of a isotropic convex body. In the fifth chapter we give upper bound of the averange of the volume of the section of a symmetric convex body C with the random rotation of C. We also give lower bound of the volume of the section of a symmetric convex body C and a random rotation of C and we give upper bounds of the inradius of the section of a symmetric convex body C with a random rotation of C. In the sixth chapter we difine Y_q(K,M) of two compact sets and we give upper bounds of this quantity.

Στο δεύτερο κεφάλαιο υπενθυμίζουμε βασικούς ορισμούς και κλασικά αποτελέσματα της ασυμπτωτικής κυρτής γεωμετρίας τα οποία χρησιμοποιούνται. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουμε την κλάση των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας και των ισοτροπικών λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας και τις ιδιότητες συγκέντρωσης που έχουν. Ορίζουμε την κλάση των L_q κεντροειδών σωμάτων και περιγράφουμε τις ιδιότητές τους. Στο κεφάλαιο τέσσερα δίνουμε πληροφορίες για την τοπική δομή των L_q κεντροειδών σωμάτων και το πρώτο βασικό αποτέλεσμα αφορά τις προβολές, διάστασης ανάλογης της αρχικής διάστασης των κεντροειδών σωμάτων. Στην συνέχεια δίνουμε άνω φράγμα για τους αριθμούς κάλυψης της μπάλας από τα L_q κεντροειδή σώματα και δίνουμε άνω φράγμα για την μέση νόρμα των L_q κεντροειδών σωμάτων. Συνέπεια αυτού είναι να δώσουμε άνω φράγμα για την μέση νόρμα για τυχόν ισοτροπικό κυρτό σώμα.Στο πέμπτο κεφάλαιο δίνουμε άνω φράγμα για την μέση τιμή του όγκου της τομής ενός συμμετρικού κυρτού σώματος C με τυχαία στροφή του C και στην περίπτωση που το σώμα είναι ισοτροπικό. Στη συνέχεια δίνουμε κάτω φράγμα για τον όγκο της τομής ενός συμμετρικου κυρτού σώματος C όγκου 1 με τυχαία στροφή του C και δίνουμε άνω φράγμα για την περιγεγραμμένη ακτίνα της τομής ενός συμμετρικού σώματος C με τυχαία στροφή του C.Στο έκτο κεφάλαιο ορίζουμε μια ποσότητα Y_q και δίνουμε άνω φράγματα γι' αυτήν την ποσότητα.