Μελέτη γεωμετρικών ιδιοτήτων χώρων Banach

Abstract

In this thesis we study the geometry of closed, convex, bounded, non-dentable (fail the Radon-Nikodym Property-RNP) subsets of Banach spaces.Diestel’s fundamental conjecture (1973), “Is the RNP equivalent to the KMP (Krein-Milman Property);” remains globally open for 40 years. In our study we give answer in this question in the case of spaces C(α), with α≤ω^ω^κ and in the case of quotients of spaces having shrinking unconditional finite dimensional decomposition.We investigate the structure of closed, convex, bounded subsets of spaces with Unconditional Finite Dimensional Decomposition and of spaces not containing l1. We use operators with concrete properties (e.g. representability of projections), we suppose that on the closed, convex, bounded, non-RNP subsets of these spaces, RNP is equivalent to PCP (Point of Continuity Property), construct δ-bushes with specific features (disjoint nodes, non-atomic martingale coordinatization, etc.) and study convex sets on which norm and weak topologies coincide. Based on known technics and theorems (as Schachermayer-Rosenthal theorem) we obtain results concerning the geometric structure and the analytic properties of these setsEspecially we study C(α) spaces, with α countable ordinal. If α≤ω^ω^κ, where ω is the first countable ordinal and κ is a natural number we prove:Theorem 3.41 Let K be a closed, convex, bounded, non-dentable subset of C(ω^ω^κ ). Then there exists a closed, convex, bounded, non-dentable subset L of K such that L has the PCP and fails RNP. Therefore the KMP and RNP are equivalent properties on subsets of C(ω^ω^κ ).We prove also:Theorem 4.4 Let X be a Banach space having shrinking unconditional finite dimensional decomposition and Y a quotient of X. Then on closed, convex, bounded subsets of Y the RNP and the KMP are equivalent properties.Theorem 5.14 There exists a closed, convex, bounded, non-dentable subset K of X0, so that on the subsets of K the RNP and the PCP are equivalent properties.We construct the Banach space X0, as a direct sum of spaces which are the closure of c00(D), where D is the dyadic tree, under appropriate norms in the definition of which regular families of subsets of natural numbers are used.Choosing the Schreier families Sn instead of the regular families, the space X0 can be embedded in C(ω^ω^ω) and then by theorems 3.41 and 5.14 we obtain a fundamental difference in the structure of closed, convex, bounded, non-RNP subsets of spaces C(α) with α<ω^ω^κ and those with α ω^ω^ω.While in spaces C(α) with α<ω^ω^κ every closed, convex, bounded, non-RNP subset K contains a closed, convex, non-RNP subset L which has the PCP, in spaces C(α) with α ω^ω^ω there exists a closed, convex, bounded, non-dentable subset K so that on the subsets of K the RNP and the PCP are equivalent properties.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε την γεωμετρία των κλειστών, κυρτών, φραγμένων, non-dentable (χωρίς την Radon-Nikodym Ιδιότητα-RNP) υποσυνόλων χώρων Banach.Το θεμελιώδες ερώτημα του Diestel (1973), “Είναι η RNP ισοδύναμη με την KMP (Krein-Milman Ιδιότητα);” , παραμένει ανοιχτό στη γενικότητά του εδώ και 40 χρόνια. Η μελέτη μας, μας οδήγησε σε απάντηση αυτής της ερώτησης στις περιπτώσεις των χώρων C(α) με α≤ω^ω^κ και στα πηλίκα χώρων με shrinking unconditional finite dimensional decomposition.Εξετάζεται η δομή κυρτών, κλειστών, φραγμένων υποσυνόλων χώρων με Unconditional Finite Dimensional Decomposition και χώρων που δεν περιέχουν τον l1. Χρησιμοποιώντας τελεστές με συγκεκριμένες ιδιότητες (π.χ. αναπαραστασιμότητα των προβολών), υποθέτοντας ότι στα κλειστά, κυρτά, φραγμένα, non-RNP υποσύνολά τους, η RNP είναι ισοδύναμη με την PCP (Point of Continuity Ιδιότητα), κατασκευάζοντας δ-bushes με ειδικά χαρακτηριστικά (disjoint nodes, non-atomic martingale coordinatization, κ.ά.), μελετώντας κυρτά σύνολα στα οποία η norm και η ασθενής τοπολογία ταυτίζονται και βασιζόμενοι σε γνωστές τεχνικές και θεωρήματα (όπως το θεώρημα Schachermayer-Rosenthal) αποδεικνύουμε αποτελέσματα που αφορούν την γεωμετρική δομή καθώς και αναλυτικές ιδιότητες των συνόλων αυτών. Ειδικότερα μελετώνται οι χώροι C(α), όπου α αριθμήσιμος διατακτικός. Στην περίπτωση που α≤ω^ω^κ , όπου ω ο πρώτος αριθμήσιμος διατακτικός και κ φυσικός, αποδεικνύουμε: Θεώρημα 3.41. Έστω Κ ένα κλειστό, κυρτό, φραγμένο, non-dentable υποσύνολο του C(ω^ω^κ ). Τότε υπάρχει ένα κλειστό, κυρτό υποσύνολό L του Κ, τέτοιο ώστε το L έχει την PCP και δεν έχει την RNP. Συνεπώς η KMP και η RNP είναι ισοδύναμες ιδιότητες στα υποσύνολα του C(ω^ω^κ ).Άλλα κύρια αποτελέσματά μας είναι:Θεώρημα 4.4. Έστω Χ ένας χώρος Banach με shrinking unconditional finite dimensional decomposition και Υ ένας χώρος πηλίκο του Χ. Τότε στα κλειστά, κυρτά, φραγμένα υποσύνολα του Υ η RNP και η KMP είναι ισοδύναμες ιδιότητες.Θεώρημα 5.14. Υπάρχει ένα κλειστό, κυρτό φραγμένο, non-dentable υποσύνολο Κ του Χ0, τέτοιο ώστε στα υποσύνολα του Κ η RNP και η PCP είναι ισοδύναμες ιδιότητες.Κατασκευάζουμε τον χώρο Banach X0, ως ευθύ άθροισμα χώρων οι οποίοι είναι η κλειστότητα του c00(D), όπου D το δυαδικό δέντρο, μέσω κατάλληλης νόρμας στον ορισμό της οποίας χρησιμοποιούνται οι κανονικές οικογένειες υποσυνόλων των φυσικών. Επιλέγοντας τις οικογένειες Schreier Sn στην θέση των κανονικών οικογενειών, ο χώρος X0 εμφυτεύεται στον C(ω^ω^ω) και τότε μέσω των θεωρημάτων 3.41 και 5.14 διαπιστώνουμε μία θεμελιώδη δομική διαφορά των κλειστών, κυρτών, φραγμένων, non-RNP υποσυνόλων των χώρων C(α) με α<ω^ω^ω και αυτών με α ω^ω^ω.Ενώ στους χώρους C(α) με α<ω^ω^ω κάθε κλειστό, κυρτό φραγμένο, non-RNP υποσύνολο Κ περιέχει κλειστό, κυρτό, non-RNP υποσύνολο L που έχει την PCP, στους χώρους C(α) με α ω^ω^ω υπάρχει ένα κλειστό, κυρτό, φραγμένο, non-RNP υποσύνολο Κ, τέτοιο ώστε στα υποσύνολα του Κ η RNP και η PCP είναι ισοδύναμες ιδιότητες.