Πειραματικοί σχεδιασμοί και γραφήματα

Abstract

This dissertation presents a research on the construction of experimental designs, which is the first of the three objects of Statistics (according to R.A. Fisher, while the other two are Descriptive Statistics and Statistical Inference). In particular it is a study on the saturated D-optimal, s1 x s2 x s3 factorial plans of resolution III, i.e. designs of xperiments on three factors with any number of levels in each factor, that estimate the main effects of the levels of the factors using the criterion of the minimization of the generalized ariance and the minimal number of experimental units. Some properties of these designs are demonstrated, for any value of the parameters s1, s2,, s3. The upper bound of the value of the determinant of the information matrix for the 3xs2xs3 plan where s3>=s2+1, s2>=3 and the 3xs2 plan, where s>=3, is achieved and then some graph for which the determinant of the adjacency matrix attains the corresponding upper bound is constructed by the method of the ear construction. Finally the level combinations (treatments) of the factors for each one of the above optimal plans are given by the use of some appropriate labeled graph. The entire study where based on Combinatorial and Graph Theory methods (methods from the field of Discrete Mathematics), while it is worthy to mention that the computation of the value of the determinant of any matrix was done merely by additions and subtractions.

H παρούσα διατριβή αποτελεί μια μελέτη επάνω στην κατασκευή πειραματικών σχεδιασμών (τον πρώτο από τους τρεις στόχους της επιστήμης της Στατιστικής R.A.Fisher). Συγκεκριμένα μελετώνται οι κορεσμένοι d-βέλτιστοι s1xs2xs3 παραγοντικοί σχεδιασμοί εκτιμητικής τάξης ΙΙΙ, δηλαδή σχέδια πειραμάτων στα οποία υπεισέρχονται τρεις παράγοντες με οποιοδήποτε πλήθος σταθμών και τα οποία έχουν ως στόχο την εκτίμηση των κυρίων επιδράσεων των σταθμών των παραγόντων ελαχιστοποιώντας τη γενικευμένη διασπορά και χρησιμοποιώντας το ελάχιστο πλήθος πειραματικών μονάδων. Παρουσιάζονται και αποδεικνύονται αρκετές ιδιότητες αυτών των σχεδιασμών για κάθε τιμή των παραμέτρων s1, s2,, s3. Αποδεικνύεται η τιμή του άνω φράγματος της ορίζουσας του πίνακα πληροφορίας για τις περιπτώσεις 3xs2xs3, s3>=s2+1, s2>=3 και 3xs2 για κάθε s>=3, ενώ στη συνέχεια κατασκευάζονται με τη μέθοδο της σύνθεσης με περιττά μονοπάτια (αυτιά) τα γραφήματα των οποίων η απόλυτη τιμή της ορίζουσας του πίνακα συνδέσεων πετυχαίνει τα αντίστοιχα προηγούμενα άνω φράγματα. Τέλος χρησιμοποιώντας σημασμένα γραφήματα δίνουμε τους συνδυασμούς των σταθμών των παραγόντων (αγωγές) που πρόκειται να συμπεριληφθούν κατά την εκτέλεση των αντίστοιχων βέλτιστων πειραμάτων για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων. Οι αποδεικτικές διαδικασίες που ακολουθούμε βασίζονται κυρίως σε μεθόδους της Θεωρίας των Γραφημάτων και γενικότερα των Διακριτών Μαθηματικών, ενώ χαρακτηριστικό της μελέτης είναι ότι ο υπολογισμός των οριζουσών των πινάκων στηρίζεται εξ’ ολοκλήρου στις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης