Υπολογιστικές μέθοδοι για την αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων

Abstract

We will study second order initial value problems of the form Problems with periodic and oscillating solutions, which have the above general form have been a very important subject of research activity the last years. Such problems are divided into two categories. The first category consists of problems with known frequency and the second consists of problems that we don’t know their frequency. According to the previous there are two categories of numerical methods for the solution of those problems. The methods of the first category need the frequency of the problem for their application and for the methods of the second category the knowledge of the frequency is not necessary. In this dissertation we developed multiderivative methods. More analytically this dissertation has the following structure. In chapter 1 the general problem and a summary of the history of the research activity about it are given. In chapters 2 and 3 there is the theory developed, on which this dissertation is based. In chapter 2 the definition of symmetric methods and the relevant theorems are given and in chapter 3 phase-lag analysis is presented. In chapter 4 a multiderivative two step method of algebraic order eight with phase - lag of order ten and interval of periodicity equal to (0,15.84) is developed. In this chapter the theory of the phase-lag and of the interval of periodicity for two step methods is also described. Finally, the new developed method is applied to the radial time independent Schrodinger equation. Comments on the numerical results are given. In chapter 5 we develop a family of multiderivative methods of algebraic order eight. The new methods are constructed based on the property of minimal phase - lag. The algebraic order and the phase - lag condition are given. The interval of periodicity is also computed. A new property of local phase - lag error is introduced. Based on this property a new variable-step method is developed. We finally, apply the new variable - step method to the coupled differential equations of the Schrodinger type. In chapter 6 we first describe the construction of exponential fitting multistep methods. Based on this description a new multiderivative trigonometrically fitted two-step method with algebraic order six is obtained. For the new method the local truncation error and the interval of periodicity is given. An application of the new method to the radial time independed Schrodinger equation is given. Comments on the numerical results are given. In chapter 7 new directions in research areas are given where there are still open problems

Θα μελετήσουμε το γενικό πρόβλημα αρχικών τιμών και δευτέρας τάξεως το οποίο έχει περιοδική λύση. Προβλήματα με περιοδική λύση τα οποία έχουν την προαναφερθείσα μορφή αποτέλεσαν ένα ιδιαίτερα σημαντικό θέμα ερευνητικής δραστηριότητας τα τελευταία χρόνια. Αυτά τα προβλήματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αποτελείται από προβλήματα με γνωστή συχνότητα και η δεύτερη αποτελείται από προβλήματα που δεν γνωρίζουμε την συχνότητα τους. Σύμφωνα με τα προαναφερθέντα υπάρχουν δύο κατηγορίες αριθμητικών μεθόδων για την λύση αυτών των προβλημάτων. Οι μέθοδοι της πρώτης κατηγορίας χρειάζονται την συχνότητα του προβλήματος για την εφαρμογή τους ενώ για μεθόδους της δεύτερης κατηγορίας η γνώση της συχνότητας δεν είναι απαραίτητη. Σε αυτή την διατριβή αναπτύξαμε πολυπαραγωγικές μεθόδους. Αναλυτικότερα η διατριβή έχει την ακόλουθη δομή. Στο κεφάλαιο 1, δίνεται το γενικό πρόβλημα, με το οποίο θα ασχοληθούμε, όπως και μια ιστορική αναδρομή για την ερευνητική δραστηριότητα σχετικά με αυτό μέχρι σήμερα. Στα κεφάλαια 2 και 3 υπάρχει το θεωρητικό υπόβαθρο της παρούσης διατριβής. Στο κεφάλαιο 2 δίνεται ο ορισμός των συμμετρικών μεθόδων, καθώς και τα σχετικά θεωρήματα και στο κεφάλαιο 3 εξηγείται και μελετάται η υστέρηση φάσης (phase-lag) των συμμετρικών μεθόδων. Στο κεφάλαιο 4 αναπτύσσουμε μια πολυπαραγωγική μέθοδο δύο βημάτων όγδοης αλγεβρικής τάξης η οποία έχει υστέρηση φάσης τάξης 10 και διάστημα περιοδικότητας (0,15.84). Αναπτύσσετε επίσης όλη η απαιτούμενη θεωρία τόσο για την ευστάθεια και για την υστέρηση φάσης όσο και για τις δυβηματικές μεθόδους. Επίσης αναπτύσσονται όλα τα απαιτούμενα θεωρητικά εργαλεία. Τέλος εφαρμόζουμε την μέθοδο στην μονοδιάστατη και χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση του Schrodinger και σχολιάζουμε τα αποτελέσματα. Στο κεφάλαιο 5 αναπτύσσουμε μια οικογένεια πολυπαραγωγικών μεθόδων όγδοης αλγεβρικής τάξης. Οι μέθοδοι αυτοί κατασκευάζονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να έχουν την ελάχιστη δυνατή υστέρηση φάσης. Δίνουμε τις απαραίτητες συνθήκες για την αλγεβρική τάξη και την υστέρηση φάσης. Υπολογίζουμε για κάθε μια από αυτές τις μεθόδους το διάστημα περιοδικότητας. Εισάγουμε στην βιβλιογραφία την έννοια του τοπικού σφάλματος υστέρισης φάσης. Με βάση τον ορισμό αυτό δίνουμε μια διαδικασία μεταβολής του βήματος. Εφαρμόζουμε την διαδικασία αυτή στις συζευγμένες εξισώσεις τύπου Schrodinger. Στο κεφάλαιο 6 καταρχήν βασιζόμενοι στην εργασία του Lyche [5], αναπτύσσουμε τον τρόπο κατασκευής των εκθετικών πολυβηματικών μεθόδων. Κατόπιν αναπτύσσουμε μία νέα δύο βημάτων έκτης αλγεβρικής τάξεως πολυπαραγωγική τριγωνομετρικά προσαρμοσμένη μέθοδο τύπου Runge-Kutta. Κατόπιν γίνεται η ανάλυση σφάλματος και ευστάθειας της νέας μεθόδου και εφαρμογή της στην αριθμητική επίλυση της εξίσωσης του Schrodinger. Στο κεφάλαιο 7 δίνονται νέες κατευθύνσεις πάνω σε κομμάτια της έρευνας, όπου υπάρχουν ακόμη ανοιχτά προβλήματα.