ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΖΟΜΕΝΑ ΜΕ ΑΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ

Abstract

ΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ PN(X)ΒΑΘΜΟΥ N-1 ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΝΑ ΘΕΤΙΚΟ ΜΕΤΡΟ ΜΕ ΑΠΕΙΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΜΑΖΑΣ, ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΟΡΙΣΘΟΥΝ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ PO(X)=0, P1(X)=1, ΚΑΙ ΑNP+1(X)+ΑN-1PN-1(X)+BNPN(X)=XDN PN(X), N>=1, ΟΠΟΥ ΑN>0,DN>0, ΚΑΙ BN ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΥΤΗΣ ΑΦΟΡΑ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ PN+1(X)ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ, ΟΠΟΥ ΑN#0, N=1,2,...,N, ΚΑΙK ΟΡΟΙ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ {DN},0<=K<N, ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΙ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΗΔΕΝ. ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΥΤΗ, ΓΙΑ ΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΟ K#0, Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ PN+1(X) ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ{ΑN} ΚΑΙ {BN} ΚΑΙ ΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ. ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΑΥΤΑ ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΚΑΤ'ΑΝΑΓΚΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΠΛΕΣ ΡΙΖΕΣ. ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΠΡΟΒΛΕΠΟΥΝ ΤΟ ΒΑΘΜΟ ΚΑΙ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΛΩΝ ΡΙΖΩΝ. Τ'ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΥΤΑ, ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΑ ΣΕ ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ PN(X), ΓΕΝΙΚΕΥΟΥΝ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΩΝΟΥΝ ΠΡΟΣΦΑΤΟ ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΑΛΛΟΥΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ. ΕΚΤΟΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΑΥΤΗ, ΜΙΑ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΕΧΕΙ ΓΙΝΕΙ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕ ΑΛΛΟΥΣ ΚΛΑΔΟΥΣΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ. (ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ, ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΡΙΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ,ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΙΑ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ, ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΠΩΝ, ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΕΝΟΣ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΟΥΣ ΤΕΛΕΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΜΙΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ). ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΝΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ, ΟΠΩΣ, ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ, ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ L2(Μ) ΧΩΡΟΥΣ.

THE ORTHOGONAL POLYNOMIALS PN(X) OF DEGREE N-1 WITH RESPECT TO A POSITIVE MEASURE WITH INFINITE MASS POINTS,CAN BE DEFINED RECURSIVELY BY PO(X)=0, P1(X)=1,AND ANPN+1(X)+ AN-1PN-1(X)+ BNPN(X)=XDNPN(X), N>=1,WHERE AN>0, DN>O, AND BN ARE REAL NUMBERS. A PART OF THIS WORK IS CONCERNING WITH POLYNOMIALS PN+1(X) DEFINED BY THE ABOVE RECURRENCE RELATION, WHERE AN#0, N=1,2,...,N, AND K TERMS OF THE SEQUENCE {DN},0=<K<N, ARE EQUAL TO ZERO. IN THAT CASE, FOR A GIVEN K#0, THE DEGREE OF PN+1(X) DEPENDS ON SEQUENCES {AN} AND {BN} AND THE POLYNOMIALS ARE NOT ORTHOGONAL. THEREFORE THEY HAVE NOT NECESSARILY REAL AND SIMPLE ZEROS. CONDITIONS ARE FOUND WHICH PREDICT THE DEGREE AND THE EXISTENCE OF REAL AND SIMPLE ZEROS. THESE RESULTS, BASED ON A NEW APPROACH FOR STUDYING THE ZEROS OF THE POLYNOMIALS PN(X), GENERALIZE AND IMPROVE RECENT WORK MADE BY OTHER AUTHORS. APART FROM THIS CONTRIBUTION, AN ATTEMPT HAS BEEN MADE TO COLLECT INFORMATION RELEVANT TO THE CONNECTION OF ORTHOGONAL POLYNOMIALS WITH OTHER BRANCHES OF ANALYSIS (FOR INSTANCE, THE INVERSE PROBLEM OF TRIDIAGONAL OPERATORS,SELFADJOINTNESS OF CLOSED SYMMETRIC OPERATORS, MOMENT PROBLEM, AND VARIATION OF THE EIGENVALUES OF A SELFADJOINT OPERATORS WITH RESPECT TO A REAL PARAMETER). SEVERAL PROBLEMS OF ANALYSIS ARE UNIFIED & SIMPLIFIED, SUCH AS, FOR EXAMPLE, THE PROBLEM OF THE COMPLETENESS AND THE ORTHONORMALITY OF ORTHOGONAL SYSTEMS IN L2(Μ) SPACES.