Στοχαστική μοντελοποίηση προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Helmholtz και Navier

Abstract

In the present doctoral dissertation, we study boundary value problems in acoustics and linear elasticity, beginning with the mathematical framework for the Helmholtz and Navier equations. We then analyze plane dyadic-wave scattering in three dimensions and its connection to low-frequency asymptotics. Next, we formulate stochastic counterparts of these models. For the stochastic Helmholtz equation, randomness may appear in the field, the source, and the Dirichlet data; for the Navier equation, randomness enters the field and the forcing while Dirichlet data are deterministic. Using Wiener -- Chaos expansions, we convert each stochastic PDE into an infinite hierarchy of deterministic variational problems and establish well-posedness via a Garding inequality and Fredholm theory. The approach yields existence and uniqueness under standard non-resonance assumptions and clarifies the role of low-frequency approximations in stochastic scattering. In this dissertation, for the acoustic stochastic problem, the wave field, the source of the problem, and the boundary data are all expressed as Wiener chaos expansions. Specifically, we present the appropriate stochastic variational form of the problem and transform our stochastic problem into an infinite hierarchy of deterministic problems, for each of which we formulate its variational form. Subsequently, we prove their well-posedness and present the main objective of our dissertation, which is to connect the resulting deterministic problems with the original stochastic problem and to prove the existence and uniqueness of the weighted Wiener Chaos solution. Finally, for the case of the stochastic problem of linear elasticity, we apply the same methodology where only the wave field and the source of the problem are Wiener chaos expansions. That is, we reformulate the stochastic problem into an infinite hierarchy of deterministic problems and establish the existence and uniqueness of the weighted stochastic solution. For all the above cases of stochastic problems, we present significant conclusions that support the application of the proposed method. We also highlight several observations that provide food for thought and will form our research basis for future work.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε προβλήματα συνοριακών τιμών, τόσο στην περιοχή της ακουστικής όσο και στην περιοχή της ελαστικότητας. Αρχικά παρουσιάζουμε το κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο και τις βασικές μαθηματικές έννοιες που αφορούν τις εξισώσεις Helmholtz και Navier. Έπειτα, αναφέρουμε τα προβλήματα συνοριακών τιμών τόσο για την εξίσωση της ακουστικής όσο και της ελαστικότητας τα οποία αυτά μοντελοποιούν το πρόβλημα σκέδασης επίπεδου δυαδικού κύματος στις τρεις διαστάσεις για την περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας και την σύνδεσή του με την θεωρία χαμηλών συχνοτήτων. Στη συνέχεια μοντελοποιούμε τις εξισώσεις Helmholtz και Navier σε στοχαστικό περιβάλλον. Στην στοχαστική εξίσωση Helmholtz μελετάμε αρχικά το πρόβλημα όπου το βαθμωτό πεδίο, η πηγή και η συνοριακή συνθήκη είναι τυχαίες μεταβλητές και στην συνέχεια αναπτύσσουμε το πρόβλημα όπου μόνο το κυματικό πεδίο και η πηγή είναι στοχαστικές μεταβλητές, ενώ το βαθμωτό πεδίο είναι ίσο με το μηδέν στο σύνορο. Αντίστοιχα για την εξίσωση Navier θεωρούμε μόνο το διανυσματικό πεδίο και το δεξιό μέλος της εξίσωσης του προβλήματος, ως τυχαίες μεταβλητές ενώ η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Dirichlet. Στο στοχαστικό πρόβλημα της ακουστικής το κυματικό πεδίο, η πηγή του προβλήματος αλλά και τα συνοριακά δεδομένα εκφράζονται ως ανάπτυγμαWiener chaos. Ειδικότερα, παραθέτουμε την κατάλληλη στοχαστική μεταβολική μορφή του προβλήματος και μετατρέπουμε το στοχαστικό μαςπρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων, όπου για το καθένα ντετερμινιστικό πρόβλημα διατυπώνουμε την μεταβολική του μορφή. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε την καλή τοποθέτησή τους και παρουσιάζουμε τον κύριο σκοπό της διατριβής μας που είναι η σύνδεση των ντετερμινιστικών προβλημάτων που προέκυψαν με το αρχικό στοχαστικό πρόβλημα και η απόδειξη της ύπαρξης και μοναδικότητας της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης Wiener chaos. Τέλος, για την περίπτωση του στοχαστικού προβλήματος της γραμμικής ελαστικότητας, εφαρμόζουμε την ίδια μεθοδολογία όπου μόνο το κυματικόπεδίο και η πηγή του προβλήματος είναι αναπτύγματα Wiener chaos. Δηλαδή, αναδιατυπώνουμε το στοχαστικό πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχίαντετερμινιστικών προβλημάτων και θεμελιώνουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης. Για όλες τις παραπάνωπεριπτώσεις των στοχαστικών προβλημάτων παραθέτουμε σημαντικά συμπεράσματα που υποστηρίζουν την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθόδου. Επίσης τονίζουμε κάποιες παρατηρήσεις που αποτελούν τροφή για σκέψη, και θα αποτελέσουν την ερευνητική μας βάση για μελλοντικές ερευνητικέςεργασίες.