Στοχαστική μοντελοποίηση και δυναμική εκτίμηση παραμέτρων με εφαρμογές στην επιδημιολογία

Abstract

The modelling of epidemic phenomena has a central role in the field of epidemiology, with many new methods providing reliable estimates of disease spread. Deterministic approaches usually fail to fully describe the evolution of epidemics, due to the inherent uncertainty that characterizes the dynamics of these phenomena. Therefore, the transition from a deterministic to a stochastic perspective is necessary. In Chapter 1 an introduction to mathematical modelling in epidemiology is presented, covering the fundamental deterministic and stochastic models, as well as the basic properties of Bayesian filters and Markov chains. In Chapter 2 the innovative aspects of each chapter are highlighted. In Chapter 3 the stochastic SIRD (Susceptible (S), Infectious (I), Recovered (R), Deceased (D)) model with imperfect immunity is presented, based on a continuous-time Markov process. Formulas and algorithms are developed for calculating probabilities and moments of time-related quantities, such as the disease extinction time, alarm time, mortality and infection time of an individual. Through sensitivity analysis, the behavior of these characteristics is examined with respect to the epidemiological parameters of the model. In Chapter 4 a Markovian SIHRD model (Susceptible (S), Infectious (I), Hospitalized (H), Recovered (R), Deceased (D)) is established, based on a four-dimensional Markov chain, focusing on the number of hospitalizations during the evolution of an epidemic. Unlike Chapter 3, emphasis is placed on size-related stochastic characteristics, such as the total number of hospitalizations, the maximum number of hospitalized individuals, as well as the joint distribution of hospitalizations and infections. In Chapter 5 the aim is to combine formulas for calculating the distributions and moments of stochastic characteristics, derived via the Markovian approach, with a dynamic parameter estimation method such as particle filtering. The Markov chain is adapted to the structure of the compartmental SPIR model (Susceptible (S), Presymptomatic (P), Infectious (I), Recovered-Deceased (R)). Stochastic features are examined, such as the number of infectious individuals until the epidemic’s extinction, the time of occurrence of a specific number of deaths, and the number of infections caused by a presymptomatic or infectious individual. The aim is to provide a more accurate description of the time-varying behavior of epidemics. The proposed method was examined on monkeypox data from Ghana, showing improved estimates compared to the methodology with fixed parameters. Finally, by conducting sensitivity analysis and comparing the behavior of the aforementioned characteristics, conclusions are drawn regarding the impact of infectious and presymptomatic individuals on disease transmission.

Η μοντελοποίηση επιδημιολογικών φαινομένων έχει κεντρικό ρόλο στο πεδίο της επιδημιολογίας, προσφέροντας αξιόπιστες εκτιμήσεις για την εξάπλωση μολυσματικών ασθενειών μέσω ποικίλων μεθοδολογικών προσεγγίσεων. Οι προσδιοριστικές προσεγγίσεις συχνά αποτυγχάνουν να περιγράψουν πλήρως την εξέλιξη επιδημιών, λόγω της εγγενούς αβεβαιότητας που χαρακτηρίζει τη δυναμική αυτών των φαινομένων. Ως εκ τούτου, η μετάβαση από την προσδιοριστική στη στοχαστική προσέγγιση παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στο πεδίο της μαθηματικής μοντελοποίησης στην επιδημιολογία, παρουσιάζοντας τα κυριότερα προσδιοριστικά και στοχαστικά μοντέλα, καθώς και τις βασικές ιδιότητες των μπεϋζιανών φίλτρων και των μαρκοβιανών αλυσίδων. Στο Κεφάλαιο 2 επισημαίνονται εν συντομία τα καινοτόμα στοιχεία του κάθε κεφαλαίου. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται το στοχαστικό μοντέλο SIRD (Ευπαθείς (S), Μολυσματικοί (I), Αναρρώσαντες (R), Θανόντες (D)) με ατελή ανοσία, βασισμένο σε μια μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου. Κατασκευάζονται τύποι και αλγόριθμοι για τον υπολογισμό των κατανομών και των ροπών χρονικών μεγεθών, όπως ο χρόνος εξάλειψης της νόσου, ο χρόνος συναγερμού καθώς και ο χρόνος μόλυνσης και θνησιμότητας μελών του πληθυσμού. Μέσω ανάλυσης ευαισθησίας εξετάζεται η συμπεριφορά αυτών των χαρακτηριστικών συναρτήσει των επιδημιολογικών παραμέτρων του μοντέλου. Στο Κεφάλαιο 4 θεμελιώνεται ένα μαρκοβιανό μοντέλο SIHRD (Ευπαθείς (S), Μολυσματικοί (I), Νοσηλευόμενοι (Η), Αναρρώσαντες (R), Θανόντες (D)), το οποίο βασίζεται σε μια μαρκοβιανή αλυσίδα τεσσάρων συνιστωσών, εστιάζοντας στο πλήθος νοσηλευόμενων κατά την εξέλιξη μιας επιδημίας. Σε αντίθεση με το Κεφάλαιο 3, έμφαση δίνεται σε στοχαστικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με τα μεγέθη των καταστάσεων, όπως το μέγιστο πλήθος νοσηλευόμενων, το συνολικό πλήθος νοσηλειών, καθώς και η από κοινού κατανομή νοσηλειών και μολύνσεων. Στο Κεφάλαιο 5 στόχος είναι ο συνδυασμός των αναδρομικών σχέσεων για τον υπολογισμό των κατανομών και των ροπών στοχαστικών χαρακτηριστικών που προκύπτουν μέσω της μαρκοβιανής προσέγγισης, με μια μέθοδο δυναμικής εκτίμησης παραμέτρων, όπως το φίλτρο σωματιδίων. Η μαρκοβιανή αλυσίδα προσαρμόζεται στη δομή του διαμερισματικού μοντέλου SPIR (Ευπαθείς (S), Προσυμπτωματικοί (P), Μολυσματικοί (I), Αναρρώσαντες-Θανόντες (R)). Εξετάζονται χαρακτηριστικά, όπως το πλήθος μολυσματικών μέχρι την εξάλειψη της επιδημίας, ο χρόνος εμφάνισης ορισμένου πλήθους θανάτων και το πλήθος μολύνσεων που προκαλούνται από ένα προσυμπτωματικό ή μολυσματικό μέλος του πληθυσμού. Σκοπός είναι η αποδοτικότερη περιγραφή της χρονικά μεταβαλλόμενης συμπεριφοράς των επιδημιών. Η προτεινόμενη μέθοδος εξετάστηκε στα δεδομένα ευλογιάς των πιθήκων στην Γκάνα, παρουσιάζοντας βελτιωμένες εκτιμήσεις σε σχέση με τη μεθοδολογία με σταθερές παραμέτρους. Τέλος, μέσω της ανάλυσης ευαισθησίας και της σύγκρισης της συμπεριφοράς των προαναφερθέντων χαρακτηριστικών καταλήγουμε σε συμπεράσματα αναφορικά με την επίδραση των μολυσματικών και προσυμπτωματικών μελών στη μετάδοση της μολυσματικής νόσου.

La modélisation des phénomènes épidémiques occupe une place centrale en épidémiologie, et de nombreuses méthodes récentes permettent d’estimer de manière fiable la propagation des maladies. Les approches déterministes ne parviennent généralement pas à décrire pleinement l’évolution des épidémies, en raison de l’incertitude intrinsèque qui caractérise la dynamique de ces phénomènes. Il est donc nécessaire de passer d’une perspective déterministe à une perspective stochastique. Le Chapitre 1 présente une introduction à la modélisation mathématique en épidémiologie, en couvrant les principaux modèles déterministes et stochastiques, ainsi que les propriétés de base des filtres bayésiens et des chaînes de Markov. Le Chapitre 2 met en évidence les aspects novateurs de chaque chapitre. Le Chapitre 3 présente le modèle stochastique SIRD (Susceptibles (S), Infectieux (I), Rétablis (R), Décédés (D)) avec immunité imparfaite, fondé sur un processus de Markov en temps continu. Des formules et des algorithmes sont développés pour calculer les probabilités et les moments de grandeurs liées au temps, telles que le temps d’extinction de la maladie, le temps d’alarme, la mortalité et le temps d’infection d’un individu. À l’aide d’une analyse de sensibilité, le comportement de ces caractéristiques est étudié en fonction des paramètres épidémiologiques du modèle. Au Chapitre 4, un modèle SIHRD markovien (Susceptibles (S), Infectieux (I), Hospitalisés (H), Rétablis (R), Décédés (D)) est établi, reposant sur une chaîne de Markov à quatre dimensions, en se concentrant sur le nombre d’hospitalisations au cours de l’évolution d’une épidémie. Contrairement au Chapitre 3, l’accent est mis sur des caractéristiques stochastiques liées à la taille, telles que le nombre total d’hospitalisations, le nombre maximal d’individus hospitalisés, ainsi que la distribution jointe des hospitalisations et des infections. Le Chapitre 5 vise à combiner les formules de calcul des distributions et des moments de caractéristiques stochastiques, obtenues via l’approche markovienne, avec une méthode d’estimation dynamique des paramètres telle que le filtrage particulaire. La chaîne de Markov est adaptée à la structure du modèle compartimental SPIR (Susceptibles (S), Présymptomatiques (P), Infectieux (I), Rétablis–Décédés (R)). Des caractéristiques stochastiques sont étudiées, telles que le nombre d’infectieux jusqu’à l’extinction de l’épidémie, le temps d’apparition d’un nombre donné de décès, et le nombre d’infections causées par un individu présymptomatique ou infectieux. L’objectif est de fournir une description plus précise du comportement temporel variable des épidémies. La méthode proposée a été testée sur des données de variole simienne (monkeypox) au Ghana, montrant de meilleures estimations que la méthodologie à paramètres fixes. Enfin, grâce à une analyse de sensibilité et à la comparaison du comportement des caractéristiques mentionnées, des conclusions sont tirées quant à l’impact des individus infectieux et présymptomatiques sur la transmission de la maladie.