Αιτιότητα κατά Granger και ανάλυση πολυ-μεταβλητών χρονοσειρών με εφαρμογή στη νευροφυσιολογία

Abstract

The aim of the present thesis is the valuation and also the development of new methods, regarding the research field of connectivity analysis of complex dynamical systems. Also, this thesis is strongly multidisciplinary, given that we use the methods that we developed in order to shed light to problems of the field of neurophysiology and finance. After extensive literature review, we used a large number of causality measures, popular in the research of multi-variate time series analysis. We also used dynamical systems from different categories, such as non-linear difference equations, delay differential equations, a system that simulates the electroencephalogram and the stochastic process of vector autoregressive model in many scenarios regarding the dynamical regime, the number of variables and the coupling strength. The main conclusion of this study is that the dimension reduction measures are more efficient in the estimation of the true coupling structure. The causality network characteristics provide useful information for the topology of the causal effects among the system's variables. We evaluate the causality network characteristics in terms of their ability to classify multi-variate time series in different coupling structure categories. For this we use different setups in terms of the dynamical regime and coupling strength of the system under study. The conclusion is that network characteristics related to the strength distribution and the clustering of the nodes hold the crucial discriminative information. The estimation of causality effects is a hard task when important variables of the system are not observed. In this case non-existing causal effects are estimated as existing. Also, existing causal effects are not estimated as such when the impact of the hidden variable is strong, because of the common input that introduces correlations to the system. We developed a method for the estimation of causality and instantaneous causality from multi-variate time series, that shows great performance. We also showed through an analytical example, that the additional causal effects that arise when latent confounders are present are not necessarily false. Concerning instantaneous causality, we applied the proposed method on electroencephalogram recordings with epileptiform discharges. The results showed that hidden variables are present during the electroencephalogram recordings, the impact of which increases during the epileptiform discharges. In the electroencephalogram applications we used uni-variate and multi-variate means to analyse the multi-variate time series. The results showed that the duration of an induced (with transcranial magnetic stimulation) epileptiform discharge is, to some extent, correlated with the dynamical regime of certain brain regions in the early stage of the epileptiform discharge. Also, the connectivity analysis showed that the brain network undergoes critical changes before, during and after the epileptiform discharge. More precisely, there exist three discrete stages during the epileptiform discharge. Using the same recordings we applied uni-variate methods of time series analysis and we inferred that the epileptic brain has many covert states of excitability during the interictal period.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει ως στόχο την αξιολόγηση αλλά και την ανάπτυξη νέων μεθόδων οι οποίες αφορούν το επιστημονικό πεδίο της ανάλυσης συνδεσιμότητας πολυπλοκων δυναμικών συστημάτων. Επίσης, η διατριβή έχει έντονα διεπιστημονικό χαρακτήρα, δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε τις μεθόδους που αναπτύξαμε για την εξαγωγή συμπερασμάτων στον τομέα της νευροφυσιολογίας. Ύστερα από εκτενή βιβλιογραφική ανασκόπηση, συμπεριλάβαμε ένα μεγάλο πλήθος από μέτρα αιτιοτήτας, τα οποία είναι ευρέως διαδεδομένα στη διεθνή έρευνα των πολυ-μεταβλητών χρονοσειρών. Επίσης, χρησιμοποιήσαμε δυναμικά συστήματα από μεγάλο εύρος κατηγοριών όπως στοχαστικές διαδικασίες, μη-γραμμικές εξισώσεις διαφορών, διαφορικές εξισώσεις υστέρησης και ένα σύστημα που προσομοιώνει τη συμπεριφορά του ηλεκτροεγκεφαλογραφήμματος σε πολλά σενάρια δυναμικών καταστάσεων, μεγέθους και δύναμης σύζευξης. Το βασικό συμπέρασμα αυτής της μελέτης είναι ότι τα μέτρα μείωσης διάστασης είναι αποδοτικότερα στην εκτίμηση της δομής σύζευξης. Τα χαρακτηριστικά των δικτύων αιτιότητας που μπορούμε να εκτιμήσουμε από πολυ-μεταβλητές χρονοσειρές με τα μέτρα αιτιότητας μπορούν να δώσουν χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με την τοπολογία των συνδέσεων μεταξύ των παρατηρήσιμων μεταβλητών του συστήματος. Σε διαφορετικούς σχεδιασμούς ως προς το δυναμικό σύστημα, τη δυναμική κατάσταση του συστήματος και τη δύναμη σύζευξης μεταξύ των μεταβλητών αξιολογούμε τα χαρακτηριστικά των δικτύων ως προς τη δυνατότητά τους να κατηγοριοποιούν σωστά τις πολυ-μεταβλητές χρονοσειρές ως προς τη δομή συνδεσιμότητας. Το συμπέρασμα είναι ότι δείκτες που σχετίζονται με την κατανομή της ισχύος στους κόμβους του δικτύου αλλά και με την ιδιότητα της συσταδοποίησης κατέχουν την κρίσιμη πληροφορία για τη διάκριση των δομών σύζευξης που υπάρχει πίσω από τις πολυ-μεταβλητές χρονοσειρές. Στην περίπτωση κατά την οποία μεταβλητές ενός συστήματος παραμένουν κρυφές, η ανάλυση συνδεσιμότητας γίνεται μία δύσκολη υπόθεση. Σχέσεις οι οποίες δεν υπάρχουν στο πραγματικό δίκτυο συζεύξεων αναδεικνύονται ως υπαρκτές. Επίσης, στην περίπτωση που η επίδραση των μη-παρατηρήσιμων μεταβλητών είναι ισχυρή, σχέσεις που υπάρχουν μπορεί να μην αναγνωριστούν από τα μέτρα εξ' αιτίας των συσχετίσεων που εισάγονται από την κοινή επίδραση. Αναπτύξαμε μία μέθοδο εκτίμησης της αιτιότητας και της στιγμιαίας αιτιότητας από πολυ-μεταβλητές χρονοσειρές, η οποία παρουσιάζει εξαιρετική απόδοση. Μάλιστα, μέσα από ένα αναλυτικό παράδειγμα δείξαμε ότι οι επιπρόσθετες σχέσεις που εκτιμώνται, όταν υπάρχουν κρυφές επιδράσεις, δεν είναι κατ' ανάγκην ψευδείς. Όσον αφορά τη στιγμιαία αιτιότητα, εφαρμόσαμε τη νέα μέθοδο σε δεδομένα ηλεκτροεγκεφαλογραφικών καταγραφών, στις οποίες περιέχονται επιληπτικές εκφορτίσεις. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι κατά τη διάρκεια της καταγραφής της δραστηριότητας του εγκεφάλου υπάρχουν κρυφές μεταβλητές των οποίων η ισχύς εντείνεται κατά την επιληπτική περίοδο. Στις εφαρμογές σε ηλεκτροεγκεφαλογραφήματα χρησιμοποιήσαμε μονομεταβλητές και πολυμεταβλητές μεθόδους ανάλυσης πολυ-μεταβλητών χρονοσειρών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι η διάρκεια της επιληπτικής εκφόρτιση, η οποία προκαλείται από διακρανιακό μαγνητικό ερεθισμό καθορίζεται σε κάποιο βαθμό από τη δυναμική κατάσταση συγκεκριμένων περιοχών του εγκεφάλου στην αρχική φάση της επιληπτικής εκφόρτισης. Επίσης, η ανάλυση συνδεσιμότητας έδειξε ότι το δίκτυο του εγκεφάλου υφίσταται κρίσιμες αλλαγές πριν, κατά τη διάρκεια και μετά την επιληπτική εκφόρτιση και πιο συγκεκριμένα αναδείχθηκαν τρεις διακριτές φάσεις της επιληπτικής εκφόρτισης. Στα ίδια δεδομένα εφαρμόζοντας μονο-μεταβλητές μεθόδους της ανάλυσης χρονοσειρών συμπεραίνουμε ότι κατά τη διάρκεια της φυσιολογικής λειτουργίας του, ο εγκέφαλος μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετικές δυναμικές καταστάσεις διεγερσιμότητας.