Numerical methods for equations of internal waves

Abstract

In my doctoral dissertation I deal with the modeling, mathematical analysis and numerical solution of nonlinear partial differential equations (PDE) systems that describe internal waves of gravity, appearing on the interface of two layers of fluids with different densities. The problem is of great interest in Oceanography, with special emphasis on the modeling and description of the motion of internal solitary waves created at the interfaces. The idealized model we are interested in consists of an ideal fluid (inviscid, homogeneous, irrotational, incompressible ) in a two-layer system with different densities. Our main point of interest is the evolution of the function which represents the deviation of the interface of the two layers from its rest position, as well as the velocities of the fluid. Under these conditions, this internal wave problem can be mathematically described by the Euler equations for the two layers, with suitable conditions at the interface, boundary conditions on the top end of the upper layer and at the bottom of the lower one, as well as initial conditions for the variables of the problem (fluid velocity and interfacial deviation). In this sense, we assume here that the bottom is impermeable, horizontal and flat and the upper layer satisfies a rigid lid condition, that is, it is not a free, but an impenetrable, bounding surface . On the other hand, the deviation of the interface is assumed to be unaffected by capillary forces, which in oceanographic applications are typically weak and negligible in the modeling. The resulting Euler equations are complex and difficult to solve. For this reason, simpler asymptotic models, in the form of PDE systems for the interfacial deviation and the fluid velocities, can be constructed as good approximations of the Euler system in suitable physical regimes for the motion. Among the different asymptotic models derived, the present dissertation will focus on the numerical approximation to the one-dimensional version of the PDE systems corresponding to three regimes: i) Boussinesq/Boussinesq regime ii) Boussinesq/Full Dispersion regime iii) Intermediate Long Wave (ILW) and Benjamin-Ono (BO) regimes. The present dissertation develops some of the previous points and is mainly focused on the spatial discretization of the periodic initial value problem with spectral methods.

Στη διδακτορική μου διατριβή ασχολούμαι με την μοντελοποίηση, τη μαθηματική ανάλυση και την αριθμητική επίλυση συστημάτων μη γραμμικών ΜΔΕ που περιγράφουν εσωτερικά κύματα βαρύτητας. Τα εσωτερικά κύματα εμφανίζονται στη διεπιφάνεια δύο στρωμάτων ρευστών με διαφορετικές πυκνότητες και βάθη. Μας ενδιαφέρει η συνάρτηση μετατόπισης της διεπιφάνειας των δύο στρωμάτων από τη θέση ισορροπίας τους, καθώς και οι ταχύτητες στα δύο στρώματα του ρευστού. Το πρόβλημα παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον στην ωκεανογραφία. Ιδιαίτερα ενδιαφέρει η μοντελοποίηση και η περιγραφή της κίνησης μοναχικών κυμάτων μεγάλου μήκους και πλάτους που δημιουργούνται στις διεπιφάνειες. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ιδεώδες ρευστό (ασυμπίεστο, αστρόβιλο, χωρίς ιξώδες), το πρόβλημα των εσωτερικών κυμάτων περιγράφεται από τις εξισώσεις του Euler ξεχωριστά στα δύο στρώματα με κατάλληλες συνθήκες διεπιφάνειας, συνοριακές συνθήκες στο άνω πέρας του άνω στρώματος και στο κάτω πέρας (συνήθως πυθμένας) του κάτω στρώματος, καθώς και αρχικές συνθήκες για τις μεταβλητές (ταχύτητα του ρευστού και μετατόπιση διεπιφάνειας). Οι εξισώσεις αυτές είναι εξαιρετικά πολύπλοκες και, συνεπώς, δύσκολο να επιλυθούν ώστε να μελετηθούν τα φαινόμενα κίνησης των ρευστών που μας ενδιαφέρουν. Για το λόγο αυτό, έχουν κατασκευασθεί απλούστερα ασυμπτωτικά μοντέλα που είναι καλές προσεγγίσεις των εξισώσεων του Euler για κατάλληλες περιοχές των φυσικών παραμέτρων της ροής. Αφού γίνει μία συστηματική εξαγωγή και περιγραφή ασυμπτωτικών μοντέλων σε δύο χωρικές διαστάσεις, μελετάμε την σύγκλιση της φασματικής μεθόδου Fourier-Galerkin στην χωρική διακριτοποίηση του περιοδικού προβλήματος αρχικών τιμών των ασυμπτωτικών συστημάτων σε μία διάσταση. Αποδεικνύουμε L^2 εκτιμήσεις σφάλματος για τις ακόλουθες ημιδιακριτές προσεγγίσεις : i) Συστήματα Boussinesq-Boussinesq ii) Συστήματα Boussinesq-Boussinesq/πλήρως διασπειρόμενα iii)Συστήματα της μορφής Intemediate Wave Problem iv) Συστήματα τύπου Benjamin-Ono (BO).