Σχήματα πεπερασμένων διαφορών με αυτόματη αναδιαμέριση για υπερβολικούς νόμους διατήρησης

Abstract

In this work we consider Finite Difference numerical schemes over 1 dimensional non-uniform, adaptively redefined meshes. We combine the basic properties of function approximation over non-uniform mesh with a mesh reconstruction, the spatial solution update over the new mash and with the time evolution with Finite Difference schemes designed for non-uniform meshes. All these steps constitute the Basic Adaptive Scheme. We moreover analyse the Total Variation properties of the Basic Adaptive Scheme and provide the theoretical results of this work. In more details: we investigate the basic notions of Finite Difference approximation over non-uniform meshes. We discuss their properties and compare their qualitative characteristics with the respective approximations over uniform meshes. We then discuss the mesh reconstruction procedure that we use throughout this work. We explain the way the new non-uniform mesh is constructed based on geometric properties of the numerical solution itself, and on the already existing non-uniform mesh. We describe the functionals responsible for this mesh reconstruction and present their properties. Relations with other non-uniform mesh methods are provided in the form of references. Afterwards, we present the process with which the numerical solution is updated/redefined over the new non-uniform mesh. Characteristic properties like, conservation of mass and maximum principle during this process are discussed and analysed. Next, we move to the time evolution part of the Basic Adaptive Scheme. We discuss some known and some new numerical schemes, both designed for non-uniform meshes. We notice that some of them reduce to the same numerical scheme when the mesh is uniform; hence we name the numerical schemes under consideration according to theiruniform counterparts. We analyse some of their properties like consistency, stability and order of accuracy using, mainly, their modified equations as our tool. Through this process we discover that the usual consistency criterion for Finite Difference scheme is not sufficient when the mesh is non-uniform; hence we provide a generalisation of the consistency criterion valid also for non-uniform meshes. Then a series of numerical tests is conducted. Comparisons between the non-uniform vs uniform mesh case exhibit both the stabilisation properties of the Basic Adaptive Scheme and the higher accuracy that can be achieved when non-uniform mesh is used. These tests are conducted using the numerical schemes that were previously discussed as well as elaborate Entropy Conservative numerical schemes. Finally, we discuss the Total Variation of Basic Adaptive Schemes when oscillatory (either dispersive or anti-diffusive) Finite Difference schemes are used for the time evolution step. We prove under specific assumptions that the Total Variation of such schemes remains bounded, and even more (under more strict assumptions) that the increase of their Total Variation decreases with time. This work has led to the submission of three journal essays.

Στην εργασία αυτή μελετάμε Σχήματα Πεπερασμένων διαφορών σε μονοδιάστατα, μη ομοιόμορφα, αναδρομικά οριζόμενα πλέγματα. Συνδυάζουμε τις βασικές ιδιότητες προσέγγισης συναρτήσεων σε μη-ομοιόμορφα πλέγματα, με την ανακατασκευή του πλέγματος, τη χωρική ανανέωση της διακριτής λύσης πάνω στο νέο πλέγμα, με την χρονική ανανέωση ανανέωση της λύσης, χρησιμοποιώντας σχήματα πεπερασμένων διαφορών σχεδιασμένα ειδικά για μη-ομοιόμορφα πλέγματα. Τα βήματα αυτά ορίζουν το Βασικό Αναδρομικό Σχήμα. Επιπλέον αναλύουμε τις ιδιότητες του Βασικού Αναδρομικού Σχήματος ως ον αϕορά στην Συνολική του Κύμανση και παρέχουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα της δουλειάς αυτής. Αναλυτικότερα: μελετάμε τις βασικές ιδέες των προσεγγίσεων Πεπερασμένων Διαϕορών σε μη-ομοιόμορϕα πλέγματα. Αναλύουμε τις ιδιότητες τους και συγκρίνουμε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους με τις αντίστοιχες προσεγγίσεις σε ομοιόμορϕα πλέγματα. Έπειτα, παρουσιάζουμε την μέθοδο ανακατασκευής του πλέγματος, που χρησιμοποιούμε στην εργασία αυτή. Εξηγούμε το τρόπο με τον οποίο κατασκευάζουμε το νέο μη-ομοιόμορϕο πλέγμα, βασιζόμενοι σε γεωμετρικές ιδιότητες της αριθμητικής λύσης και στο υπάρχουν μη-ομοιόμορφο πλέγμα. Περιγράφουμε τα συναρτησοειδή που είναι υπεύθυνα για την ανακατασκευή αυτή και παρουσιάζουμε τις ιδιότητες τους. Σχέσεις με άλλες μεθόδους ανακατασκευής πλέγματος δίνονται υπό την μορφή αναφορών. Έπειτα παρουσιάζουμε την την διαδικασία με την οποία η αριθμητική λύση επαναπροσδιορίζεται στο νέο μη-ομοιόμορφο πλέγμα. Αναλύουμε χαρακτηριστικές ιδιότητες όπως η διατήρηση της μάζας και η αρχή μεγίστου. Προχωράμε, έπειτα, στο βήμα της χρονική ανανέωση του Βασικού Αναδρομικού Σχήματος. Αναϕέρουμε μερικά γνωστά και μερικά νέα αριθμητικά σχήματα, όλα σχεδιασμένα ειδικά για μη-ομοιόμορφα πλέγματα. Παρατηρούμε ότι κάποια εξ' αυτών είναι ταυτόσημα όταν το πλέγμα είναι ομοιόμορϕο. Αναλύουμε μερικές από τις ιδιότητες τους όπως: Συνέπεια, Ευστάθεια, Ακρίβεια χρησιμοποιώντας την Δραστική Εξίσωση του σχήματος ως βασικό εργαλείο. Κατά τη διάρκεια της ανάλυσης αυτής ανακαλύπτουμε ότι το κλασσικό κριτήριο συνέπειας για σχήματα Πεπερασμένων Διαϕορών δεν είναι ικανή συνθήκη για να εξασϕαλίσει την συνέπεια του σχήματος όταν το πλέγμα είναι μη-ομοιόμορϕο. Για το λόγο αυτό προτείνουμε μία γενίκευση του κριτηρίου αυτού ως ικανή συνθήκη για την συνέπεια του σχήματος, εφαρμόσιμη και στην περίπτωση του ομοιόμορφο όσο και στην περίπτωση του μη-ομοιόμορφο πλέγματος. Έπειτα παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα μιας σειράς αριθμητικών πειραμάτων, όπου και συγκρίνουμε τις ιδιότητες ευστάθειας και ακρίβειας σχημάτων πάνω από ομοιόμορφο και μη-ομοιόμορφο πλέγμα. Τέλος, μελετάμε την Συνολική Κύμανση του Βασικού Αναδρομικού Σχήματος όταν χρησιμοποιούνται αριθμητικά σχήματα που παράγουν ταλαντώσεις. Αποδεικνύουμε ότι κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες η Συνολική Κύμανση είναι φραγμένη και επιπλέον (κάτω από αυστηρότερες συνθήκες) ότι η αύξηση της Κύμανσης εξ' αιτίας των ταλαντώσεων μειώνεται με το χρόνο. Η εργασία αυτή οδήγησε στην κατάθεση τριών ερευνητικών άρθρων σε επιστημονικά περιοδικά.