Εκτιμήσεις πυρήνων θερμότητας για ελλειπτικούς διαφορικούς τελεστές τέταρτης τάξης

Abstract

In this doctoral dissertation, entitled "Heat kernel estimates for fourth-order elliptic operators" we consider a class of fourth order uniformly elliptic operators in planar Euclidean domains and study the associated heat kernel. For operators with L^∞ coefficients we obtain Gaussian estimates with best constants, while for operators with constant coefficients we obtain short time asymptotic estimates. The novelty of this thesis is that we do not assume that the associated symbol is strongly convex. The short time asymptotics reveal a behavior which is qualitatively different from that of the strongly convex case.We also obtain heat kernel estimates for a class of fourth order non-uniformly elliptic operators in two dimensions. Contrary to existing results, the operators considered have symbols that are not strongly convex. This rises certain difficulties as it is known that, as opposed to the strongly convex case, there is no absolute exponential constant. Our estimates involve sharp constants and Finsler-type distances that are induced by the operator symbol. The main result is based on two general hypotheses, a weighted Sobolev inequalitry and an interpolation inequality, which are related to the singularity or degeneracy of the coefficients.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, με τίτλο «Εκτιμήσεις πυρήνων θερμότητας για ελλειπτικούς διαφορικούς τελεστές τέταρτης τάξης» θεωρούμε μία κατηγορία ομοιόμορφα ελλειπτικών τελεστών τέταρτης τάξης σε ένα χωρίο Ω⊂R^2 και μελετάμε τον σχετικό πυρήνα θερμότητας. Για τελεστές με συντελεστές L^∞ βρίσκουμε Γκαουσιανές εκτιμήσεις με τις βέλτιστες σταθερές, ενώ για τελεστές με σταθερούς συντελεστές βρίσκουμε ασυμπτωτικές εκτιμήσεις. Η καινοτομία αυτής της διατριβής είναι ότι το σχετικό σύμβολο δεν είναι ισχυρά κυρτό. Οι ασυμπτωτικές εκτιμήσεις εμφανίζουν μία συμπεριφορά που είναι ποιοτικά διαφορετική από αυτή της ισχυρά κυρτής περίπτωσης.Βρίσκουμε επίσης εκτιμήσεις του πυρήνα θερμότητας για μία κατηγορία μη ομοιόμορφα ελλειπτικών τελεστών τέταρτης τάξης στις δύο διαστάσεις. Σε αντίθεση με τα υπάρχοντα αποτελέσματα, οι τελεστές που μελετώνται έχουν σύμβολα που δεν είναι ισχυρά κυρτά. Αυτό παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες καθώς είναι γνωστό ότι, σε αντίθεση με την ισχυρά κυρτή περίπτωση, δεν υπάρχει απόλυτη εκθετική σταθερά. Οι εκτιμήσεις μας περιλαμβάνουν σταθερές και αποστάσεις τύπου Finsler που επάγονται από το σύμβολο του τελεστή. Το κύριο αποτέλεσμα βασίζεται σε δύο γενικές υποθέσεις, μία ανισότητα Sobolev με βάρος και μία ανισότητα παρεμβολής με βάρος, οι οποίες σχετίζονται με την ιδιομορφία ή τον εκφυλισμό των συντελεστών.