Ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης επιπέδων και σφαιρικών ελαστικών κυμάτων

Abstract

In this dissertation, we study direct and inverse scattering problems of elastic waves by a non-penetrable partially coated object located in a homogeneous and isotropic elastic medium. We formulate the scattering problem via the Navier equation by conside-ring the incident waves due to point sources where the corresponding scattered waves are measured on a closed, smooth curve inside the scatterer-object. From a mathematical point of view, our model is described by a mixed boundary value problem where the scattered field satisfies a Dirichlet-Robin mixed boundary condition on the boundary of the scatterer. We prove, for the direct scattering problem, well posedness in an appropriate Sobolev space setting and in particular we prove uniqueness, existence and stability of the solution as well. We also present similar results for the direct scattering problem by a non-homogeneous elastic medium with unknown buried obstacles. We also study the corresponding inverse scattering problems by introducing appropriate auxiliary integral operators in the form of single and double-layer potential from which a modified factori-zation method is established. In addition, we present and prove an inversion algorithm for the reconstruction of the boundary of the partially coated scatterer. Finally, we state useful remarks, conclusions and applications.

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης ελαστικών κυμάτων από ένα μη-διαπερατό μερικώς επικαλυμμένο αντικείμενο που βρίσκεται σε ένα ομογενές και ισότροπο ελαστικό μέσο. Μοντελοποιούμε μαθηματικά το πρόβλημα σκέδασης μέσω της φασματικής εξίσωσης Navier, θεωρώντας προσπίπτοντα κυματικά πεδία από σημειακές πηγές, με αντίστοιχα σκεδασμένα κυματικά πεδία, τα οποία λαμβάνονται σε μία κλειστή, λεία καμπύλη στο εσωτερικό του αντικειμένου-σκεδαστή. Ιδιαίτερα, από μαθηματικής άποψης, το μοντέλο μας περιγράφεται από ένα εσωτερικό, μεικτό πρόβλημα συνοριακών τιμών στο οποίο το σκεδασμένο πεδίο ικανοποιεί τη μεικτή συνοριακή συνθήκη τύπου Dirichlet-Robin στο λείο σύνορο του σκεδαστή. Αποδεικνύουμε για το ευθύ πρόβλημα σκέδασης την καλή τοποθέτηση του σε κατάλληλο συναρτησιακό πλαίσιο χρησιμοποιώντας χώρους Sobolev και συγκεκριμένα θεμελιώνουμε αποτελέσματα μοναδικότητας, ύπαρξης και ευστάθειας λύσης. Αντίστοιχα αποτελέσματα παρουσιάζουμε επίσης για το ευθύ πρόβλημα σκέδασης από ένα μη-ομογενές ελαστικό μέσο με άγνωστα θαμμένα αντικείμενα στο εσωτερικό του. Επίσης, μελετάμε τα αντίστοιχα αντίστροφα προβλήματα σκέδασης και χρησιμοποιώντας κατάλληλους βοηθητικούς ολοκληρωτικούς τελεστές, μορφής δυναμικών απλού και διπλού στρώματος, θεμελιώνουμε μία τροποποιημένη μέθοδος παραγοντοποίησης για την επίλυσή του. Επιπλέον, παρουσιάζουμε και αποδεικνύουμε όλο το θεωρητικό πλαίσιο μέσω του οποίου προτείνεται αλγόριθμος αντιστροφής για την ανακατασκευή του συνόρου, του μερικώς επικαλυμμένου σκεδαστή. Τέλος, παραθέτουμε χρήσιμες παρατηρήσεις, συμπεράσματα και εφαρμογές σχετικά με το ευθύ πρόβλημα σκέδασης και τη σύνδεσή του με το αντίστροφο.