Μη διαταρακτικές μέθοδοι και το θεώρημα μονοτονίας σε διδιάστατες θεωρίες πεδίου

Abstract

In the following thesis we present a set of new results concerning integrable deformations of two dimensional Quantum Field Theories. The approach contains novel features and techniques of non-perturbative calculations, giving a more in insightful view and understanding of this broad area. The class of deformations we are dealing with, are called lambda-deformations. These deformations enjoy a set of symmetries appearing to be significant, since when exploiting them, numerous of quantum non-perturbative results arise. To serve our purpose, we start with an overview of Conformal Field Theory (CFT). Our aim is to describe the necessary tools for the reader, to become familiar with the basic notions of CFT that take place in our calculations. This contains a gentle introduction in two-dimensional CFT, engaging the reader with calculations of correlation functions in a general set up. Next we describe in some detail the famous WZW-models as an intermediate step to understand lambda-deformations. The presentation contains single WZW models as well as coset constructions usually called Goddard-Kent-Olive. To proceed, we give an outlook of monotonicity theorems in QFT. These theorems are related with the definition of functions that capture the effective degrees of freedom as the theory flows from high energies (UV) to low energies (IR). These functions decrease monotonically in accordance with our physical intuitions, since in this motion of the QFT in coupling space the degrees of freedom are lowered. These functions are not globally defined in all dimensions even though they all come under the name of C-theorems. This is because they are related with the form of the energy momentum two-point function, which differs and becomes more complicated as the number of dimensions increase. We first describe in considerable detail the Zamolodchikov C-theorem in two dimensions as a useful background for the evaluation of the lambda-deformed C-functions. During the proof, the necessary set of notions concerning geometry in coupling space is developed, as a useful tool for anomalous dimension calculations for several operators. We also discuss the F-theorem in three dimensions and the a-theorem in four dimensions for completeness but without entering deep within. Then, we introduce a detailed presentation of lambda-deformations that will appear in our treatment. The special features of these integrable theories are high-lighted, among which, the invariance under duality symmetry transformations. These discrete transformations are crucial since when exploiting them, non-perturbative calculations are feasible giving a full control of the flow. The core of our presentation follows. On chapter 6 we utilize the coupling space geometry and the exact beta-function to calculate the anomalous dimensions of a wide class of operators in lambda-deformed theories. This procedure comes with a set of steps taking place in the following manner: a) Starting with a lambda-deformed theory we introduce a new term with a coupling (say lambda tilde) which can be seen as a perturbative source term. Then, the action contains two coupling constants and the coupling space becomes two dimensional. b) For this new action we calculate the beta-functions for both couplings using the heat-kernel method. These beta-functions are exact in lambda and first order in lambda tilde. c) We then use a relation between the beta-functions and the anomalous dimensions in coupling space and construct the anomalous dimension matrix of operators. At this point, the Zamolodchikov metric (the coupling space metric) is important d) Assuming that there is no mixing of operators as lambda tilde approaches zero, we arrive at the anomalous dimension of the operator under study. The lambda-deformed models we are focused on contain single lambda-deformations, lambda-deformations of different algebra levels k and of mutual type. For these theories, we first calculate the anomalous dimensions of single chiral and anti-chiral current operator and then we study chains of chiral, anti-chiral and mixed operators constructed out of these single currents. Our results are checked using perturbation theory appearing to be in full agreement with the Taylor expansions of the exact expressions. Note, that in our derivations, Feynman diagrams and standard perturbation theory are not used, making this method comprehensive and attractive by giving a useful perspective of coupling space geometry in calculating effective results of QFT.Finally on chapter 7 we present a detailed calculation of the C-function for several lambda-deformed theories. The useful expression for our derivation is the one relating the C-function with the beta-function. Having in our grasp the beta-functions for the models under study and using the Callan-Symansik equation which implies a general form for the C-function, we compute the C-function exact in lambda and for large k. Our computation contains single lambda-deformation, lambda deformations for different level of k and coset spaces. Also it respects the monotonicity property and on fixed points it takes the values of the central charge of the CFT.

Στη διδακτορική του διατριβή με τίτλο «Μη διαταρακτικές μέθοδοι και το θεώρημα μονοτονίας σε διδιάστατες θεωρίες πεδίου» μελετώνται η εύρεση των C-συναρτήσεων και η χρήση μη διαταρακτικών μεθόδων στις ολοκληρώσιμες λ-παραμορφώσεις, για την εύρεση ανώμαλων διαστάσεων διαφόρων κλάσεων τελεστών.Ξεκινάμε με μία επαρκή παρουσίαση του θεωρητικού υποβάθρου για την κατανόηση των υπολογισμών. Συγκεκριμένα ως αφετηρία παρουσιάζουμε βασικά στοιχεία της σύμμορφης θεωρίας πεδίου και στη συνέχεια επικεντρωνόμαστε στις πληροφορίες που χρειαζόμαστε από τα σύμμορφα πρότυπα WZW. Ο λόγος είναι ότι οι λ-παραμορφώσεις αποτελούν παραμορφώσεις των προτύπων αυτών. Στη συνέχεια περιγράφουμε τα θεωρήματα μονοτονίας σε δύο, τρεις και τέσσερις διαστάσεις δίνοντας έμφαση στο θεώρημα Zamolodchikov όπου αποδεικνύεται ότι για κάθε διδιάστατη σύμμορφη θεωρία πεδίου υπάρχει μια συνάρτηση που καλείται C και μετράει τους ενεργούς, άμαζους βαθμούς ελευθερίας καθώς η θεωρία ρέει από τις υψηλές στις χαμηλές ενέργειες. Επίσης δίνουμε περιληπτικά και τις κατασκευές των λ-προτύπων που θα χρησιμοποιήσουμε, για πληρότητα.Στη συνέχεια, προχωρούμε στη χρήση μη διαταρακτικών μεθόδων για την εύρεση των ανώμαλων διαστάσεων αλυσιδών ολομορφικών, αντι-ολομορφικών και μεικτών ρευματικών τελεστών. Ακριβέστερα, χρησιμοποιούμε τη γεωμετρία του χώρου των σταθερών ζεύξης καθώς επίσης και την ενεργό δράση των λ-παραμορφωμένων θεωριών. Εισάγοντας στις λ-παραμορφωμένες δράσεις έναν επιπρόσθετο όρο με μία νέα ζεύξη και ζητώντας κοντά στο σύμμορφο σημείο να εξαφανίζονται φαινόμενα μίξης των τελεστών, υπολογίζουμε τις ανώμαλες διαστάσεις χωρίς να υπεισέλθουμε στη χρήση θεωρίας διαταραχών. Συγκεκριμένα ο υπολογισμός προκύπτει από ένα σύνολο βημάτων τα οποία περιγραφικά είναι τα εξής: Ξεκινούμε με τη δράση που περιέχει ένα πρότυπο WZW ένα πρότυπο PCM και έναν επιπρόσθετο βοηθητικό όρο. Στη συνέχεια ακολουθώντας τη διαδικασία βάθμισης, μέσω της εισαγωγής των πεδίων βαθμίδας και βρίσκοντας τις εξισώσεις κίνησής τους, καταλήγουμε σε μία δράση για την οποία υπολογίζουμε τη συνάρτηση β καθώς και τη μετρική Zamolodchikov. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που συνδέουν τις ανώμαλες διαστάσεις με τη μετρική και τη συνάρτηση β, υπολογίζουμε τον πίνακα των ανώμαλων διαστάσεων των τελεστών που μελετούμε. Ο πίνακας είναι διαγώνιος και τα στοιχεία του είναι η ανώμαλη διάσταση του κάθε τελεστή από το ζεύγος τελεστών που εμφανίζονται στη δράση. Τέλος, τα αποτελέσματά μας ελέγχονται μέσω της θεωρίας διαταραχών. Για να επιτευχθεί αυτό, αναπτύσουμε τις ακριβείς εκφράσεις για μικρές τιμές της ζεύξης λ, ενώ ταυτόχρονα υπολογίζουμε και διαταρακτικά την ανώμαλη διάσταση του τελεστή. Οι τελικές εκφράσεις βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία μεταξύ τους.Με τη χρήση του θεωρήματος Zamolodchikov, υπολογίζουμε τη συνάρτηση C για μία μεγάλη κλάση λ-παραμορφώσεων, χρησιμοποιώντας τεχνικές της σύμμορφης θεωρίας πεδίου. Οι C-συναρτήσεις ικανοποιούν φθινουσα μονοτονία και στα άκρα έχουν τις τιμές των κεντρικών φορτίων των σύμμορφων θεωριών μεταξύ των οποίων παρεμβάλλονται. Οι εκφράσεις που υπολογίζουμε είναι ακριβείς ως προς λ και ικανοποιούν όλες τις απαιτούμενες ιδιότητες και συμμετρίες των λ-παραμορφώσεων. Οι C-συναρτήσεις που υπολογίζουμε αφορούν τις απλές -παραμορφώσεις, τις παραμορφώσεις με διαφορετικά επίπεδα της άλγεβρας ρευμάτων, καθώς και τις λ παραμορφώσεις για χώρους πηλίκα. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις, οι θεωρίες εμφανίζουν σύμμορφα σημεία στο IR και οπότε και περιγράφονται από σύμμορφες θεωρίες. Αντικαθιστώντας τις τιμές των σύμμορφων σημείων στη συνάρτηση C μπορεί κανείς να αναγνωρίσει τις παραπάνω σύμμορφες θεωρίες.