Διαφορικές εξισώσεις εξέλιξης στη θεωρητική μηχανική

Abstract

In this dissertation we study Differential Evolution Equations in Theoretical Mechanics. We present research results on the existence and uniqueness of strong and classical global solutions for linear and non-linear differential evolution equations of parabolic type and for autonomous case dynamical systems solutions are achieved. It is noted that these solutions are acceptable (time is not bounded) in the field of Physics throughout the time line of the real numbers or throughout the real half-axis of the real numbers. For the study of the non-linear differential equation of evolution is first considered the corresponding linear differential equation of evolution, and then through the Nemytskii operator results of existence and uniqueness with Carathéodory - Lipschitz - Segal perturbation of the linear part is achieved. Models of Physical Systems are listed which are based on parabolic differential equations. In particular, formalism is developed to reduce the classical heat equation, homogeneous, linear and non-linear, in the form of evolution equation. Also presented is the foundation of thermodynamics by Lieb and Yngvason, which is based on the axiomatic foundation and at the principle of Carathéodory. We then describe how Navier-Stokes models for fluid mechanics are written in the form of a parabolic equation for uncompressed fluids and compressed fluids in hydrodynamics. Finally, the case of the Minkowski space is considered where the geometrical and topological structure is initially studied. Next, the mean ergodic theorem regarding the monoparametric semimodule of the Lorentz operators is studied. Differential equations of linear and non-linear evolution in the Minkowski space are also studied which are of hyperbolic type.

Στην διδακτορική διατριβή μελετώνται Διαφορικές Εξισώσεις Εξέλιξης στη Θεωρητική Μηχανική. Παρουσιάζονται ερευνητικά αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη και το μονοσήμαντο ισχυρών (strong) και κλασικών (classical) ολικών λύσεων (global solutions) για τις γραμμικές και μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις εξέλιξης παραβολικού τύπου και για την αυτόνομη περίπτωση επιτυγχάνονται λύσεις δυναμικά συστήματα. Σημειώνεται ότι αυτές οι λύσεις είναι αποδεκτές (ο χρόνος δεν φράσσεται) στο χώρο των Φυσικών Επιστημών σε όλη τη χρονική ευθεία των πραγματικών αριθμών ή σε όλο τον πραγματικό ημιάξονα των πραγματικών αριθμών. Για τη μελέτη της μη-γραμμικής διαφορικής εξίσωσης εξέλιξης πρώτα θεωρείται η αντίστοιχη γραμμική διαφορική εξίσωση εξέλιξης, και στη συνέχεια μέσω του τελεστή Nemytskii επιτυγχάνονται αποτελέσματα ύπαρξης και μονοσήμαντου με Carathéodory - Lipschitz - Segal συνεχή διαταραχή του γραμμικού μέρους. Παρατίθενται μοντέλα Φυσικών συστημάτων τα οποία ανάγονται σε διαφορικές εξισώσεις εξέλιξης παραβολικού τύπου. Συγκεκριμένα αναπτύσσεται ο φορμαλισμός για την αναγωγή της κλασικής εξίσωσης θερμότητας, ομογενούς, γραμμικής και μη γραμμικής, στη μορφή εξίσωσης εξέλιξης. Επίσης παρουσιάζεται η θεμελίωση της θερμοδυναμικής από τους Lieb και Yngvason η οποία στηρίζεται στην αξιωματική θεμελίωση και στην αρχή Καραθεοδωρή (principle of Carathéodory). Στη συνέχεια παρουσιάζεται το πώς τα μοντέλα για τις εξισώσεις τύπου Navier-Stokes στη μηχανική των ρευστών γράφονται στη μορφή εξίσωσης εξέλιξης του ιδίου παραβολικού τύπου για ασυμπίεστα ρευστά, αλλά και για συμπιεστά ρευστά στην υδροδυναμική. Τέλος μελετάται η περίπτωση του χώρου Minkowski όπου αρχικά μελετάται η γεωμετρική και τοπολογική δομή του. Στη συνέχεια μελετάται το μέσο εγοδικό θεώρημα σχετικά με την μονοπαραμετρική ημιομάδα των τελεστών Lorentz. Επίσης μελετώνται διαφορικές εξισώσεις εξέλιξης γραμμικές και μη γραμμικές στο χώρο Minkowski οι οποίες είναι υπερβολικού τύπου.