Μελέτη μερικών διαφορικών εξισώσεων με ισχυρές ιδιομορφίες

Abstract

The present dissertation lies in the general field of Partial Differential Equations. The main purpose is to highlight the strong links between the equations including critical singularities and the inequalities of Hardy and Caffarelli-Kohn-Nirenberg type. The first part concerns the asymptotic behavior of the solutions for the linear heat equation on all of space, related to the critical case of the classical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality. In the second part, it is analyzed the infinite dimensional dynamical system, defined by the semilinear problem for the critical operator in the case above, while it is perturbated by a linear term including real parameter. The system leads to a bifurcation of supercritical pitchfork type for the stationary states. Finally, in the third part, it is established the orbital stability for the Schrödinger operator, equipped with the Hardy potential, including the critical constant, and the pure power nonlinearity, while it is posed on the whole space. Also, in the spirit of J. L. Vázquez and N. B. Zographopoulos, it is examined the phenomenon of the presence of the so-called Hardy Singularity Energy.

Η παρούσα διατριβή εντάσσεται στην ευρύτερη περιοχή των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Κύριος στόχος είναι η ανάδειξη των ισχυρών δεσμών ανάμεσα σε εξισώσεις που περιλαμβάνουν κρίσιμες ιδιομορφίες και στις ανισότητες τύπου Hardy και Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Στο πρώτο μέρος, διερευνάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων της γραμμικής εξίσωσης θερμότητας σε όλο τον χώρο, η οποία σχετίζεται με την κρίσιμη περίπτωση της ανισότητας Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Στο δεύτερο μέρος, αναλύεται το απειροδιάστατο δυναμικό σύστημα που ορίζεται από το σχεδόν γραμμικό πρόβλημα σε ένα φραγμένο χωρίο, ενώ παράλληλα έχει διαταραχθεί από έναν γραμμικό όρο που περιέχει πραγματική παράμετρο. Αποδεικνύεται ότι το σύστημα οδηγεί στην ύπαρξη διακλάδωσης τύπου υπερκρίσιμης τρίαινας (pitchfork). Τέλος, στο τρίτο μέρος, θεμελιώνεται η τροχιακή ευστάθεια για τον τελεστή Schrödinger, ο οποίος έχει εφοδιαστεί με το δυναμικό Hardy, συμπεριλαμβανομένης της κρίσιμης σταθεράς, και την ομογενή πολυωνυμική μη γραμμικότητα, ενώ έχει τοποθετηθεί σε όλο τον χώρο. Παράλληλα, στο πνεύμα των J. L. Vázquez και Ν. Β. Ζωγραφόπουλου, διερευνάται το φαινόμενο της ύπαρξης της λεγόμενης ενέργειας Hardy στην ιδιομορφία (Hardy singularity energy).