Θεμελιώδεις ιδιότητες των ολοκληρωτικών εξισώσεων Hallén και Pocklington σε γραμμικές κεραίες τροφοδοτούμενες μέσω διακένων

Abstract

In the present thesis we discuss certain fundamental properties of Hallén’s (HE)and Pocklington’s (PE) equations with the Finite-Gap Generator (FGG), which haslong been used as a feed model for cylindrical antennas. These results are compared tocorresponding ones for the Delta Function Generator model (DFG) that have beendiscussed in previous works.At first, in Chapter 1, a brief overview is provided of methods of currentcomputation in linear antennas through integral equations. The model of “circulartubular antenna” is presented and exact/approximate integral equations are extracteddepending on the choice of kernel (exact/approximate). These expressions areapplicable for all choices of generator. Finally, numerical methods that are often appliedto both forms of HE and PE are discussed.In Chapter 2, an extensive study of the Hallén integral equation for the current ona linear antenna center-driven by DFG is presented. Fundamental properties of thenumerical solution are also discussed. The numerical method is Galerkin’s method withpulse functions. For the approximate kernel, unphysical oscillations, at the edges and atthe centre of the finite antenna, are observed. These oscillations, near the driving point, are due to the “unsolvability” of the integral equation. This is verified by applying thenumerical method to HE for the current on the infinite antenna and developingasymptotic expressions that can be used as a guide for the behavior of the solutions ofthe finite antenna.Subsequently, in Chapter 3, certain fundamental properties of Hallén’s andPocklington’s equations with the FGG are examined. For the case of the exact kernel,we focus on whether important quantities are finite or infinite and compare tocorresponding quantities obtained using the DFG. For the approximate kernel, we focuson the “unsolvability” of the two equations and the relation of “unsolvability” to theimportant phenomenon of unphysical oscillations. We also extend to the FGG the socalledeffective-current method; this is an easy-to-apply remedy for the oscillatorysolutions that allows one to obtain reasonable answers for important quantities such ascurrent distributions and the input impedance. It is shown here that these answers areclose to those obtained with the exact kernel. We show that, in a certain sense, themethod is more advantageous to apply in the present (FGG) case than in the DFG case. Finally, in Chapter 4, our thesis ends with a more careful examination of theorigin and nature of oscillations occurring with the approximate kernel. Theseoscillations, near the driving point, are also due to the “unsolvability” of theapproximate integral equation, such as in DFG case. This is shown by applying thenumerical method of Chapter 3 to PE for the current on the infinite length antenna.Next, we point out certain analogies to the Method of Auxiliary Sources (MAS) and tosuperdirectivity. We also provide a new physical interpretation of the effective-currentmethod that explains a number of the findings in Chapter 3. This interpretation is alsoapplicable to the case of the delta-function generator.

Στην παρούσα διατριβή μελετούμε θεμελιώδεις ιδιότητες των ολοκληρωτικώνεξισώσεων Hallén (Hallén’s Equation - ΗΕ) και Pocklington (Pocklington’s Equation -PE) για το μοντέλο της Γεννήτριας Πεπερασμένου Διακένου – ΓΠΔ (Finite GapGenerator - FGG) το οποίο χρησιμοποιείται εκτενώς ως μοντέλο τροφοδοσίαςκυλινδρικών κεραιών. Τα συμπεράσματα που εξάγονται συγκρίνονται με τα αντίστοιχατου μοντέλου της Γεννήτριας Δέλτα Συνάρτησης – ΓΔΣ (Delta Gap Generator-DFG)που έχουν εξαχθεί σε προηγούμενες εργασίες.Αρχικά, στο Κεφάλαιο 1, γίνεται μια συνοπτική παρουσίαση μεθόδων για τονπροσδιορισμό του ρεύματος γραμμικής κεραίας μέσω των εξισώσεων ΗΕ και PE.Παρουσιάζεται το μοντέλο του «σωληνοειδούς διπόλου» το οποίο χρησιμοποιείται σεόλη την έκταση της διατριβής και εξάγονται ακριβείς και προσεγγιστικές εκφράσειςτων ολοκληρωτικών εξισώσεων, αναλόγως του πυρήνα (ακριβής - προσεγγιστικός) πουχρησιμοποιείται. Οι προαναφερθείσες εκφράσεις είναι αληθείς για οιοδήποτε μοντέλοτροφοδοσίας. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση μεθόδων αριθμητικήςεπίλυσης των ανωτέρω εξισώσεων.Στο Κεφάλαιο 2 εξετάζεται διεξοδικά η αριθμητική επίλυση της HE για το μοντέλο της ΓΔΣ καθώς και θεμελιώδεις ιδιότητες των λύσεων της εξίσωσης αυτής. Ηαριθμητική μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι η μέθοδος Galerkin με παλμικέςσυναρτήσεις. Τα αριθμητικά αποτελέσματα με τον προσεγγιστικό πυρήνα, για τηνπεπερασμένη κεραία, παρουσιάζουν ταλαντώσεις στα άκρα και στο κέντρο αυτής. Οιπαρατηρούμενες ταλαντώσεις πλησίον του σημείου τροφοδοσίας συσχετίζονται με την«μη επιλυσιμότητα» της ολοκληρωτικής εξίσωσης. Το τελευταίο επαληθεύεται με τηνεφαρμογή της αριθμητικής μεθόδου στην άπειρη κεραία και την εξαγωγή μιαςασυμπτωτικής έκφρασης που πιστοποιεί ποσοτικά και ποιοτικά τις προαναφερθείσεςταλαντώσεις.Ακολούθως, στο Κεφάλαιο 3, εξετάζονται εκτενώς οι εξισώσεις Hallén καιPocklington για το μοντέλο της ΓΠΔ. Για την περίπτωση του ακριβούς πυρήναεπικεντρώνουμε την μελέτη μας στο αν σημαντικά μεγέθη της κεραίας έχουνπεπερασμένη τιμή και τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα μεγέθη της ΓΔΣ. Για τονπροσεγγιστικό πυρήνα εστιάζουμε την ανάλυση μας στην μη επιλυσιμότητα τωνολοκληρωτικών εξισώσεων και στον συσχετισμό αυτής με το φαινόμενο της παρουσίας μη φυσιολογικών ταλαντώσεων. Επιπρόσθετα, επεκτείνουμε την μέθοδο του «ενεργούρεύματος», που έχει προταθεί και μελετηθεί σε προηγούμενες εργασίες, στο μοντέλοτης ΓΠΔ. Πρόκειται για μία, απλή στην εφαρμογή, μέθοδο επεξεργασίας τωνταλαντούμενων τιμών για την εξαγωγή λογικών αποτελεσμάτων που αφορούνσημαντικά στοιχεία της κεραίας όπως είναι η ρευματική κατανομή και η σύνθετηαντίσταση εισόδου. Επαληθεύεται ότι τα ανωτέρω μεγέθη είναι πολύ κοντά στααντίστοιχα που προκύπτουν με τον ακριβή πυρήνα. Τέλος επιβεβαιώνεται ότι η μέθοδοςτου ενεργού ρεύματος είναι πιο αποδοτική στο μοντέλο της ΓΠΔ σε σχέση με τηνεφαρμογή της στην ΓΔΣ.Τέλος, στο Κεφάλαιο 4, η διδακτορική εργασία ολοκληρώνεται με την ενδελεχήμελέτη της προέλευσης και της φύσης των παρατηρούμενων ταλαντώσεων στααριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν με τον προσεγγιστικό πυρήνα.Εφαρμόζοντας την αριθμητική μέθοδο του Κεφαλαίου 3 στην PE για την άπειρη κεραίααποδεικνύεται, όπως και στην περίπτωση της ΓΔΣ, ότι οι αναφερόμενες ταλαντώσειςπλησίον του σημείου τροφοδοσίας της κεραίας είναι αποτέλεσμα της μηεπιλυσιμότητας της ολοκληρωτικής εξίσωσης με τον προσεγγιστικό πυρήνα. Ενσυνεχεία, οι ταλαντώσεις συσχετίζονται με το φαινόμενο της υπερκατευθυντικότηταςκαι με αντίστοιχα φαινόμενα που παρατηρούνται στην Μέθοδο Βοηθητικών Πηγών(Method of Auxiliary Sources -MAS). Το Κεφάλαιο 4 ολοκληρώνεται με την φυσικήερμηνεία του ενεργού ρεύματος μέσω της οποίας εξηγούνται πολλά από τασυμπεράσματα του Κεφαλαίου 3. Η ερμηνεία αυτή ισχύει επίσης και για το μοντέλο τηςΓΔΣ.