Energy transfer and dissipation in nonlinear oscillators

Abstract

In the following thesis we study a three degree of freedom autonomous system with damping, composed of two linear coupled oscillators with an essentially nonlinear lightweight attachment. A similar work was done by Vakakis. He studied the dynamic interactions between traveling waves propagating in a linear lattice and a lightweight, essentially nonlinear and damped local attachment through slow-fast partitions of the dynamics and Melnikov analysis. He proved that for damping below a critical threshold relaxation oscillations of the attachment exist. These oscillations are associated with enhanced targeted energy transfer from the traveling wave to the attachment. Moreover, in the limit of weak or no damping, he proved the existence of subharmonic oscillations of arbitrarily large periods, and of chaotic motions. In our work we study, with the help of the Slow Invariant Manifold (SIM) approach, how the parameters of the original problem influence the asymptotic behavior of the orbits of the system. This is accomplished with the application of Tikhonov's theorem. We classify the different cases of the dynamics according to the values of the parameters and the theoretically predicted asymptotic behavior of the orbits. In the next step we study the dynamical behavior of the slow flow of the system. The dynamics of the slow flow can be either simple (having regular oscillations in the region of the stable branches of the SIM), having relaxation oscillations or chaotic behavior. The study of the slow flow and the bifurcations of the SIM are related with the Targeted Energy Transfer of the initial problem. The classification of the different cases of the SIM gives us, in a way, a way to control the dynamics of the system. Furthermore, an electric circuit that implements the nonlinear reduced system is presented. This electric circuit can be used for the experimental study as well as for developing applications that use the rich dynamics of the above system. This thesis is organized as follows. In the next chapter we present some basic concepts, theorems and tools that we use in our study. The third chapter presents the bifurcations of the SIM and a classification for the different cases. In the fourth chapter we present the dynamics of the slow flow. The effect of the SIM and the slow flow dynamics on the energy transfer and dissipation of the initial system is presented in the fifth chapter. The sixth chapter presents an electrical circuit that implements the reduced nonlinear system. Finally, in the seventh chapter, we present the conclusions of our work and suggestions for further work.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε ένα σύστημα τριών συζευγμένων ταλαντωτών με τριβή, δύο γραμμικών με έναν μη γραμμικό. Τέτοια συστήματα ταλαντωτών έχουν μεγάλο ενδιαφέρον ιδιαίτερα όταν η μάζα του μη γραμμικού ταλαντωτή είναι πολύ μικρότερη από τους γραμμικούς με συνέπεια ο μη γραμμικός ταλαντωτής να λειτουργεί ως καταβόθρα ενέργειας.Αυτού του είδους τα συστήματα, στα οποία συνυπάρχουν ένας αργός και ένας γρήγορος χρόνος μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια της singularity analysis, των αναλλοίωτων πολλαπλοτήτων, ενώ σημαντική πληροφορία για τη δυναμική του συστήματος δίνεται και από την δυναμική της αργής ροής (Slow Flow) του συστήματος. Στην παρούσα διατριβή μελετάμε το σύστημα μέσω της μελέτης της αργής αναλλοίωτης πολλαπλότητας (Slow Invariant Manifold- SIM-). Με τη βοήθεια του θεωρήματος του Tikhonov κατηγοριοποιούμε τις διάφορες περιπτώσεις της αργής αναλλοίωτης πολλαπλότητας και ορίζουμε αναλυτικά τις συνθήκες με τις οποίες μπορούμε να οδηγηθούμε στην κάθε περίπτωση. Σε επόμενο βήμα μελετάμε την δυναμική της αργής ροής και παρατηρούμε ότι η δυναμική της είναι πλούσια αφού οι τροχιές της μπορούν να είναι κανονικές, να κάνουν ταλαντώσεις ηρεμίας (relaxation oscillations), ή να είναι χαοτικές. Από την μελέτη της ενέργειας που αποθηκεύεται στον μη γραμμικό ταλαντωτή και από τον ρυθμό απόσβεσης της συνολικής ενέργειας του συστήματος παρατηρούμε ότι τόσο η ύπαρξη διακλαδώσεων της αργής αναλλοίωτης πολλαπλότητας, όσο και η δυναμική της αργής ροής παίζουν καθοριστικό ρόλο στην μεταφορά ενέργειας από τον γραμμικό στον μη γραμμικό ταλαντωτή. Επίσης, στις περιπτώσεις που βλέπουμε μεταφορά ενέργειας παρατηρούμε ότι ο ρυθμός απόσβεσης της συνολικής ενέργειας του συστήματος είναι μεγαλύτερος από τον ρυθμό απόσβεσης όταν δεν μεταφέρεται ενέργεια στον μη γραμμικό ταλαντωτή. Η μελέτη του συστήματος των τριών συζευγμένων ταλαντωτών κλείνει με την πρόταση ενός μη γραμμικού ηλεκτρικου κυκλώματος το οποίο υλοποιεί την μη γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με την οποία προσεγγίσαμε το αρχικό σύστημα. Το συγκεκριμένο κύκλωμα έχει ενδιαφέρον γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να μελετήσουμε και πειραματικά διάφορα από τα φαινόμενα που είδαμε στην θεωρητική μας ανάλυση.