Παραγωγίσεις σε άλγεβρες μη - φραγμένων τελεστών: hilbert pro-C*- διπρότυπα

Abstract

A part of the present thesis deals with the study of derivations in the framework of pro-C*-algebras and locally convex GB*-algebras which are algebras of unbounded operators. The other part is devoted to the study of Hilbert pro-C*-bimodules as well as crossed products by them. In Chapter 2 we define and study the structure of Hilbert pro-C*-bimodules. In the applications, amongst other things, it is proved that every derivation from a pro-C*-algebra A into a Hilbert pro-C*-bimodule over A is continuous and also that the compact operators K(X), of a Hilbert pro-C*-bimodule X are realized, via a topological *-isomorphism, from a closed two-sided ideal of the algebra with respect to which the bimodule is considered. In Chapter 3 it is proved that every derivation from a pro-C*-algebra A into a complete locally convex A-bimodule with jointly continuous module actions is continuous. The continuity of a derivation is also examined in the framework of GB*-algebras. In particular it is shown that every derivation of a smooth Frechet nuclear GB*-algebra is continuous. Furthermore it is proved that the only derivation of a commutative Frechet GB*-algebra is the zero one. In Chapter 4 the notion of a crossed product by a Hilbert pro-C*-bimodule is defined and it is proved that it is isomorphic with an inverse limit of Hilbert C*-bimodules. In addition it is shown that an inverse limit action of the unit circle on a pro-C*-algebra A is semisaturated if and only if A is isomorphic with the crossed product of the fixed point algebra by the first spectral subspace. Moreover a condition is considered, so as, given two Hilbert pro-C*-bimodules over two strongly Morita equivalent pro-C*-algebras, the respective crossed products by these bimodules are also strongly Morita equivalent. Finally, the notion of a pro-C*-correspondence is examined and it is proved how it is correlated with the crossed product by a Hilbert pro-C*-bimodule.

Ένα μέρος της παρούσης διατριβής συνίσταται στη μελέτη των παραγωγίσεων στο πλαίσιο των pro-C*-αλγεβρών και των τοπικά κυρτών GB*-αλγεβρών οι οποίες είναι άλγεβρες μη-φραγμένων τελεστών. Το υπόλοιπο μέρος αφιερώνεται στη μελέτη των Hilbert pro-C*-διπροτύπων καθώς και των σταυρωτών γινομένων μέσω αυτών. Στο Κεφάλαιο 2 ορίζεται και μελετάται η δομή των Hilbert pro-C*-διπροτύπων. Στις εφαρμογές, ανάμεσα σε άλλα, αποδεικνύεται ότι κάθε παραγώγιση από μία pro-C*-άλγεβρα Α σε ένα Hilbert A-διπρότυπο είναι αυτομάτως συνεχής καθώς και ότι οι συμπαγείς τελεστές Κ(Χ) ενός Hilbert pro-C*-διπροτύπου X υλοποιούνται, μέσω ενός τοπολογικού *-ισομορφισμού, από ένα κλειστό δίπλευρο ιδεώδες της άλγεβρας ως προς την οποία θεωρείται το πρότυπο. Στο Κεφάλαιο 3 αποδεικνύεται ότι κάθε παραγώγιση από μία pro-C*-άλγεβρα Α σε ένα πλήρες τοπικά κυρτό Α-διπρότυπο με ταυτόχρονα συνεχείς δράσεις είναι συνεχής. Η συνέχεια μίας παραγώγισης εξετάζεται επίσης στην κλάση των GB*-αλγεβρών. Ιδιαίτερα αποδεικνύεται ότι κάθε παραγώγιση μίας λείας Frechet nuclear GB*-άλγεβρας είναι συνεχής. Επιπρόσθετα αποδεικνύεται ότι η μοναδική παραγώγιση μίας μεταθετικής Frechet GB*-άλγεβρας είναι η μηδενική. Στο Κεφάλαιο 4 ορίζεται η έννοια των σταυρωτών γινομένων μέσω Hilbert pro-C*-διπροτύπων και αποδεικνύεται ότι είναι ισόμορφα με ένα αντίστροφο όριο σταυρωτών γινομένων Hilbert C*-διπροτύπων. Επίσης δείχνουμε ότι μία αντίστροφη δράση της μοναδιαίας περιφέρειας σε μία pro-C*-άλγεβρα Α είναι ημικορεσμένη αν και μόνο αν η Α είναι ισόμορφη με το σταυρωτό γινόμενο της άλγεβρας σταθερού σημείου ως προς τον πρώτο φασματικό υπόχωρο. Επιπρόσθετα εξετάζεται μία συνθήκη, ώστε, δοθέντων δύο Hilbert pro-C*- διπροτύπων ως προς δύο ισχυρά Morita ισοδύναμων pro-C*-αλγεβρών, τα αντίστοιχα σταυρωτά γινόμενα μέσω των διπροτύπων αυτών να είναι επίσης ισχυρά Morita ισοδύναμες pro-C*-άλγεβρες. Τέλος εξετάζεται η έννοια της pro-C*-αντιστοιχίας και αποδεικνύεται πως αυτή συσχετίζεται με το σταυρωτό γινόμενο ως προς ένα Hilbert pro-C*-διπρότυπο.