Μελέτη υπερεπιφανειών πολλαπλοτήτων Riemmam

Abstract

In this thesis the problem of classifying three dimensional real hypersurfaces in complex projective space form CP2 and in complex hyperbolic space form CH2, in terms of conditions concerning the structure Jacobi operator ℓ has been studied. In Chapter 1 basic notations and lemmas of the theory of differentiable manifolds and submanifolds are included. In Chapter 2 the three dimensional real hypersurfaces in complex projective space CP2 and in complex hyperbolic space CH2, additional basic notations and relations, which hold on them, are presented. In Chapter 3 the classification of three dimensional real hypersurfaces, whose structure Jacobi operator ℓ is ξ-parallel, i.e. ξ ℓ=0, where ξ is the covariant derivative with respect to the structure vector field ξ, which is defined on real hypersurfaces, is given. In Chapter 4 the notion of Lie D-parallelness is introduced the non-existence of real hypersurfaces with Lie D-parallel structure Jacobi operator is proved. In Chapter 5 three dimensional real hypersurfaces equipped with structure Jacobi operator satisfying the relation Lξℓ= ξℓ, where Lξ is the Lie derivative with respect to the structure vector field ξ, is given. The notation of pseudo-parallel structure Jacobi operator is introduced and real hypersurfaces with this structure Jacobi operator ℓ are classified. Finally, in Chapter 7 the classification of three dimensional real hypersurfaces with cyclic-parallel structure Jacobi ℓ is presented.

Το αντικείμενο μελέτης της παρούσας διατριβής είναι η ταξινόμηση των τρισδιάστατων πραγματικών υπερεπιφανειών μέσα στο μιγαδικό προβολικό χώρο CP2 και στο μιγαδικό υπερβολικό χώρο CH2, όταν ο τελεστής δομής Jacobi ℓ αυτών ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες. Πιο αναλυτικά, στο πρώτο κεφάλαιο περιέχονται βασικές έννοιες και λήμματα από τη θεωρία των διαφορισίμων πολλαπλοτήτων και υποπολλαπλοτήτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρονται γνωστά αποτελέσματα και αποδεικνύονται σχέσεις που ισχύουν σε οποιεσδήποτε πραγματικές υπερεπιφάνειες των CP2 και CH2. Στο τρίτο κεφάλαιο ταξινομούνται οι τρισδιάστατες πραγματικές υπερεπιφάνειες, των οποίων ο τελεστής δομής Jacobi ℓ είναι ξ-παράλληλος, δηλαδή ξℓ=0, όπου ξ είναι η συναλλοίωτος παράγωγος κατά τη κατεύθυνση του διανυσματικού πεδίου δομής ξ που ορίζεται σε μια πραγματική υπερεπιφάνεια. Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζεται πότε η Lie παράγωγος του τελεστή δομής Jacobi είναι D-παράλληλη και αποδεικνύεται ότι τέτοιου είδους τρισδιάστατες πραγματικές υπερεπιφάνειες δεν υπάρχουν. Στο πέμπτο κεφάλαιο ταξινομούνται οι τρισδιάστατες πραγματικές υπερεπιφάνειες των οποίων ο τελεστής δομής Jacobi ℓ ικανοποιεί τη σχέση Lξℓ= ξℓ, όπου Lξ είναι η Lie παράγωγος κατά τη κατεύθυνση του διανυσματικού πεδίου δομής ξ. Στο έκτο κεφάλαιο αναφέρεται η έννοια της ψευδο-παραλληλίας ενός τανυστικού πεδίου και επιπλέον ταξινομούνται οι τρισδιάστατες πραγματικές υπερεπιφάνειες των οποίων ο τελεστής δομής Jacobi ℓ είναι ψευδο-παράλληλος. Τέλος, στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται ταξινόμηση των τρισδιάστατων πραγματικών υπερεπιφανειών με κυκλικά παράλληλο τελεστή δομής Jacobi ℓ.