Ανάλυση προσαρμογής μεταλλικών κατασκευών, υποβαλλόμενων σε αβέβαιη ελλειψοειδή φόρτιση, με τεχνικές στιβαρής βελτιστοποίησης

Abstract

Shakedown analysis constitutes a direct method of plasticity and provides an estimation of the safety factor of a structure against plastic collapse, subjected to variable loading that varies arbitrarily within given bounds. Computationally, in the framework of finite element analysis, it results into an optimization problem.. Classic shakedown analysis concerns linear variable load domains and linearized or non-linear yield criteria, yielding computationally tractable linear/non-linear programming problems. However, non-linear load domains result into computationally intractable problems with an infinite number of constraints, called semi-infinite programming problems. Shakedown analysis problems of metal structures with unknown-but-bounded ellipsoidal load uncertainty and nonlinear yield criteria are addressed by the present dissertation. These problems are deterministic and constitute the worst case scenario for the structure. In their generic form, they are computationally intractable semi-infinite programming problems. In this context, the present dissertation has the following goals: a) to study the shakedown analysis of metal structures in three-dimensional stress state with ellipsoidal variable load domain under the von Mises yield criterion, assuming elastic perfectly plastic response, b) to study the practical shakedown analysis of spatial metal frames with linear variable load domain, under non smooth, nonlinear yield criteria, c) to study the practical shakedown analysis of spatial metal frames with ellipsoidal variable load domain, under non smooth, nonlinear yield criteria. Robust optimization techniques are exploited in order to achieve goal (a). This way, a tractable semidefinite shakedown analysis problem is formulated, which provides the exact solution of the initial problem, in the context of the finite element method. Non-linear and non-smooth yield criteria are approximated by inner and outer ellipsoidal yield surfaces, which are systematically constructed. Approximate smooth, quadratic programming shakedown analysis problems are formulated under the bounding ellipsoids for linear load domains and the bracketing of the safety factor of the structure is achieved. Shakedown analysis problems under non-linear, non-smooth yield surfaces and an ellipsoidal load domain are addressed by applying the approximate inner and outer ellipsoids as the yield criteria and then exploiting robust optimization techniques. The resulting problems to be solved are tractable, semidefinite programming problems that provide upper and lower bounds of the safety factor. In this way, the initial semi-infinite, intractable shakedown analysis problems under ellipsoidal loading are formulated as ordinary mathematical programming problems, while shakedown analysis problems under non-linear, non-smooth yield criteria are systematically smoothed.

Η ανάλυση προσαρμογής εντάσσεται στις άμεσες μεθόδους πλαστικότητας και παρέχει μία εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας σε πλαστική κατάρρευση μίας κατασκευής υποβαλλόμενης σε μεταβαλλόμενη φόρτιση, η οποία λαμβάνει ελεύθερα τιμές εντός δοσμένων ορίων. Στο πλαίσιο της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, οδηγεί σε πρόβλημα βελτιστοποίησης. Η κλασσική ανάλυση προσαρμογής αφορά γραμμικοποιημένες περιοχές φόρτισης και γραμμικά ή μη γραμμικά κριτήρια διαρροής, οδηγώντας σε τακτικά προβλήματα γραμμικού/μη-γραμμικού προγραμματισμού. Ωστόσο, οι μη γραμμικές περιοχές φόρτισης οδηγούν σε μη τακτικά προβλήματα ημιθετικού προγραμματισμού με άπειρες παράπλευρες συνθήκες. Η παρούσα διατριβή πραγματεύεται την ανάλυση προσαρμογής μεταλλικών κατασκευών υπό άγνωστη-αλλά-φραγμένη αβεβαιότητα φόρτισης και μη γραμμικά κριτήρια διαρροής και έχει τους ακόλουθους στόχους: α) τη μελέτη της ανάλυσης προσαρμογής μεταλλικών κατασκευών σε συνθήκες τριδιάστατης έντασης υπό το κριτήριο von Mises και ελλειψοειδή περιοχή φόρτισης. β) τη μελέτη της ανάλυσης προσαρμογής χωρικών μεταλλικών πλαισίων υπό μη γραμμικά, μη λεία κριτήρια διαρροής και γραμμική περιοχή φόρτισης γ) τη μελέτη της ανάλυσης προσαρμογής χωρικών μεταλλικών πλαισίων υπό μη γραμμικά, μη λεία κριτήρια διαρροής και ελλειψοειδή περιοχή φόρτισης. Ο στόχος (α) επιτυγχάνεται με τη χρήση τεχνικών στιβαρής βελτιστοποίησης. Με τον τρόπο αυτό, το πρόβλημα προσαρμογής υπό ελλειψοειδή περιοχή φόρτισης και το τετραγωνικό κριτήριο von Mises διατυπώνεται ως ένα τακτικό πρόβλημα ημιθετικού προγραμματισμού, το οποίο παρέχει ακριβή λύση στο πλαίσιο της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Τα μη γραμμικά και μη λεία κριτήρια διαρροής προσεγγίζονται από εσωτερικά και εξωτερικά ελλειψοειδή, τα οποία κατασκευάζονται συστηματικά. Διατυπώνονται προβλήματα τετραγωνικού προγραμματισμού υπό τα ελλειψοειδή, τα οποία προσεγγίζουν εσωτερικά και εξωτερικά το αρχικό πρόβλημα προσαρμογής παράγοντας άνω και κάτω φράγματα του συντελεστή ασφαλείας. Τα προβλήματα προσαρμογής υπό ελλειψοειδή περιοχή φόρτισης και μη λεία, μη γραμμικά κριτήρια διαρροής αντιμετωπίζονται εφαρμόζοντας τα προσεγγίζοντα ελλειψοειδή ως κριτήρια διαρροής και στη συνέχεια αξιοποιώντας τεχνικές στιβαρής βελτιστοποίησης. Τα προκύπτοντα προσεγγιστικά προβλήματα είναι τακτικά προβλήματα ημιθετικού προγραμματισμού και δίνουν άνω και κάτω φράγματα του συντελεστή ασφαλείας της κατασκευής. Ως αποτέλεσμα των ανωτέρω, τα αρχικά μη τακτικά προβλήματα προσαρμογής υπό ελλειψοειδή περιοχή φόρτισης και τετραγωνικά κριτήρια διατυπώθηκαν ως τακτικά προβλήματα ημιθετικού προγραμματισμού, ενώ διατυπώθηκαν λείες προσεγγίσεις των προβλημάτων προσαρμογής υπό μη λεία, μη γραμμικά κριτήρια διαρροής.