Σχετικογεωμετρική και αφινική μελέτη επιφανειών του χώρου Ε3

Abstract

The purpose of this Thesis was the study of various classes of surfaces of the three - dimensional Euclidean space in the frame of relative and affine Differential Geometry. These surfaces were mainly equipped with the Manhart’s relative normalizations. In the first chapter we introduced various types and notions of relative Differential Geometry. In the second chapter we examined the ruled surfaces with non - zero parameter of distribution. At first we characterized the ruled surfaces whose Pick invariant, corresponding with the Manhart’s relative normalizations, is identically zero. We also examined when the Laplacian (corresponding to the relative metric) of the above invariant is zero. Moreover, we characterized the ruled surfaces whose Manhart’s relative normalizations are parallel to a fixed plane. We examined when the Tchebychev vector field of a ruled surface (equipped with the usual metric) has zero divergence or rotation. We also studied the ruled surfaces of Weingarten type. After that we studied two accompanying ruled surfaces of a rulling. The generators of these surfaces are the carriers of the Tchebychev vectors and the Manhart’s relative normalization respectively, along of a generator of a ruled surface. At the end of this chapter we studied in particular the affine image of a non - conoidal ruled surface. In chapter three we examined the surfaces of translation with planar generator curves equipped with the Manhart’s relative normalizations. In the class of these surfaces we characterized all those surfaces whose Pick invariant is identically zero as well as those in which the Manhart’s relative normalizations are parallel to a fixed plane. At last we examined when the Tchebychev vector field (with the usual metric) has zero divergence. In the fourth chapter we examined when the Manhart s relative normalizations are parallel to a fixed plane in the class of hehcoids surfaces. In the fifth chapter we considered canal surfaces, once more equipped with the Manhart’s relative normalizations. We studied when the relative normalizations are parallel to a fixed plane as well as if these surfaces may be proper or improper relative spheres. In the sixth and last chapter of this Thesis we defined and studied the relative parallel surfaces generalizing the well known notion of the parallel surfaces of Euclidean Differential Geometry. We also proved in that case the analogous of two theorems of Ο. Bonnet. Finally, we examined specifically the affine parallel surfaces of a ruled surface.

Σκοπός της διατριβής ήταν η μελέτη διάφορων κλάσεων επιφανειών του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, στο πλαίσιο της σχετικής και της αφινικής Διαφορικής Γεωμετρίας. Οι επιφάνειες αυτές εφοδιάζονται κυρίως με τις σχετικές καθετοποιήσεις Manhart. Στο πρώτο κεφάλαιο εκτίθενται διάφοροι τύποι και έννοιες της σχετικής Διαφορικής Γεωμετρίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο ερευνώνται οι ευθειογενείς επιφάνειες με μη μηδενιζόμενη στρεβλότητα. Αρχικά προσδιορίζονται όλες οι ευθειογενείς επιφάνειες των οποίων η αναλλοίωτος του Pick, που αντιστοιχεί στις σχετικές καθετοποιήσεις Manhart, είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Μελετάται επίσης ο μηδενισμός της Λαπλασιανής (που αντιστοιχεί στη σχετική μετρική) της παραπάνω αναλλοίωτου. Στη συνέχεια προσδιορίσθηκαν οι ευθειογενείς επιφάνειες, των οποίων οι σχετικές καθετοποιήσεις Manhart είναι παράλληλες σε σταθερό επίπεδο. Έπειτα, ερευνήθηκε ποτέ το διανυσματικό πεδίο Tchebychev μιας ευθειογενούς επιφάνειες έχει (ως προς τη συνήθη μετρική) μηδενική απόκλιση (divergence) η στροφή (rotation). Μελετήθηκαν επίσης ευθειογενείς επιφάνειες τύπου Weingarten. Ακολούθως μελετήθηκαν δύο συνοδεύουσες ευθειογενείς επιφάνειες τυχούσας γενέτειρας. Οι γενέτειρες των επιφανειών αυτών είναι οι φορείς των διανυσμάτων Tchebychev και της σχετικής κάθετου Manhart αντίστοιχα, κατά μήκος μιας γενέτειρας μιας ευθειογενους επιφάνειας Στο τέλος του κεφαλαίου αυτού μελετήθηκε ειδικότερα η αφινική εικόνα μιας μη κωνοειδούς ευθειογενούς επιφάνειας. Στο τρίτο κεφάλαιο ερευνήθηκαν οι μεταφορικές επιφάνειες με επίπεδες γενέτειρες καμπύλες, τις οποίες εφοδιάσαμε με τις σχετικές καθετοποιήσεις Manhart. Στην κλάση των επιφανειών αυτών προσδιορίσθηκαν εκείνες οι επιφάνειες, των οποίων η αναλλοίωτος του Pick μηδενίζεται ταυτοτικά όπως και αυτές στις οποίες οι σχετικές κάθετοι Manhart είναι παράλληλες σε σταθερό επίπεδο. Καταλήγοντας εξετάστηκε πότε το διανυσματικό πεδίο Tchebychev έχει (ως προς τη συνήθη μετρική) μηδενική απόκλιση. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάστηκε η παραλληλία των σχετικών καθετοποιήσεων του Manhart ως προς ένα σταθερό επίπεδο στην κλάση των ελικοειδών επιφανειών. Στο πέμπτο κεφάλαιο έγινε λόγος για σωληνοειδείς επιφάνειες οι οποίες είναι πάλι εφοδιασμένες με τις σχετικές καθετοποιήσεις Manhart. Μελετήθηκε το πρόβλημα της παραλληλίας των σχετικών κάθετων ως προς ένα σταθερό επίπεδο, καθώς και εάν οι επιφάνειες αυτές μπορεί να είναι γνήσιες ή μη γνήσιες σχετικές σφαίρες. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής ορίσθηκαν και μελετήθηκαν οι σχετικά παράλληλες επιφάνειες γενικεύοντας με τον τρόπο αυτό τη γνωστή έννοια των παράλληλων επιφανειών της ευκλείδειας Διαφορικής Γεωμετρίας. Αποδείχθηκαν επίσης τα σχετικά ανάλογα δύο θεωρημάτων του Ο. Bonnet. Καταλήγοντας εξετάσθηκαν ειδικότερα οι αφινικά παράλληλες επιφάνειες μιας ευθειογενούς επιφάνειας.