Ασθενείς λύσεις ιξώδους για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους και εφαρμογές: τρισδιάστατη αναδόμηση εικόνας

Abstract

Viscosity solutions are a class of generalized solutions of nonlinear partial differential equations. The great value of this kind of weak solu-tions is the fact that very general existence, uniqueness and stability re-sults hold for them in many problems of various fields of application. They are used in many kinds of applications, two of which are analyzed in this work. The Shallow Lake Problem, a non-standard optimal control prob-lem derived from the combination of agricultural activities and ecological services that a shallow lake provides, is the first application studied. The optimal dynamics of the problem, necessary conditions of which are provided by the Pontryagin Maximum Principle, are studied in the be-ginning for a range of values of the discount factor. The number and the type of the equilibrium points are also investigated. We then prove that the value function of the Shallow Lake Problem is a viscosity solution of an Optimal Hamilton-Jacobi-Bellman (OHJB) equation, a basic for the rest of this work result. To derive this, we study the control problem on a compact control space and we prove monotonicity, semiconvexity and other, related to the subdifferential, properties for the corresponding value function, considered as a viscosity solution of a modified HJB equation. We extract many regularity results for the value (welfare) func-tion, using this result. Furthermore, three different numerical schemes are presented, the “forward”, the “backward” and the “upwind” schemes, for the approximation of the viscosity solution, based on a finite differ-ence space discretization. Their convergence is proved using fixed point arguments. For validation of the numerical results, we compare them with the results obtained from the Simple Shooting Method, which we use as the “gold standard”. The small mean relative error for all cases (different number of saddle points, different spatial step) proves the ac-curacy of the numerical approximations. The second application analyzed is connected with the geometric representation of the Abdominal Aortic Aneurysm (AAA), which is a localized dilatation of the aortic wall. A reliable estimate of AAA rupture risk demands accurate measurements of its geometric characteristics. So, our main objective in this part of our work is the extraction of the thrombus and outer wall boundaries from cross sections of a 3D CTA AAA image data set, using the level set framework and new geometrical methods to address the basic problem of no sufficient intensity contrast between thrombus and surrounding tissue. Tools like the inversion mapping and the convex hull of a closed curve are used to trace and reconstruct these boundaries, exploiting the presence of calcifications, which are detected by combining these tools with a thresholding technique. We also introduce three novel stopping criteria to address the leakage problem that Level Set Methods (LSM's) present and a method for detecting the leakage regions. A Fast Marching Method (FMM) is initially used to resolve another problem of the LSM's, namely speed, with a proper modification for images difficult to segment. In regions with few or no calcifications, an interpolation distance technique may be used to obtain the two boundaries, if required. Artificial images which simulate the real cases are then presented to test the versatility of the methods. Sensitivity to the parameter set-tings and reproducibility are also analyzed and segmentation time is presented. A manual segmentation, created by a medical expert, was performed in the slices of ten patient data sets (450 slices) to compare with our results. Mean distance, area overlap and relative volume error are three of the quantities used to evaluate outer wall segmentation er-ror. For the validation of the thrombus results a method for approximat-ing the mean wall thickness of the AAA is introduced, utilizing another tool, namely the division of a curve into sectors using its centroid. The results for the outer wall and for the mean wall thickness are comparable with previous values reported in literature, in which, how-ever, there is no segmentation of the thrombus boundary, at least using the level set framework. These results indicate that geometrically accu-rate 3D reconstructions of AAA anatomy can be produced through LSM based segmentation of image data obtained from currently available im-aging technology. This information is quite important for finally obtaining a reliable patient specific measure of AAA rupture risk.

Οι λύσεις ιξώδους είναι μία κατηγορία γενικευμένων λύσεων για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Η μεγάλη αξία αυτού του είδους των ασθενών λύσεων φαίνεται από το ότι για αυτές υπάρχουν πολύ γενικά αποτελέσματα ύπαρξης, μοναδικότητας και ευστάθειας σε πολλά προβλήματα που προκύπτουν σε διαφορετικά πεδία εφαρμογών. Οι λύσεις ιξώδους χρησιμοποιούνται σε πολλά είδη εφαρμογών, δύο από τα οποία αναλύονται σε αυτήν τη διατριβή. Το Πρόβλημα της Ρηχής Λίμνης (the Shallow Lake Problem), ένα πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου που δεν ανήκει στα κλασικά και προκύπτει από τον συνδυασμό των χρήσεων μίας ρηχής λίμνης για αγροτικές δραστηριότητες αλλά και για οικολογικούς λόγους, είναι η πρώτη από τις εφαρμογές που μελετάμε. Αρχικά μελετούνται τα βέλτιστα δυναμικά του προβλήματος, για τα οποία η Αρχή Μεγίστου του Pontryagin παρέχει κάποιες αναγκαίες συνθήκες, για ένα διάστημα τιμών του παράγοντα έκπτωσης. Επίσης ερευνάται ο αριθμός και το είδος των σημείων ισορροπίας. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση αξίας του Προβλήματος της Ρηχής Λίμνης είναι λύση ιξώδους μίας Βέλτιστης Hamilton-Jacobi-Bellman (OHJB) εξίσωσης, ένα βασικό αποτέλεσμα για την υπόλοιπη εργασία. Για να προκύψει αυτό, μελετάμε το πρόβλημα ελέγχου σε ένα συμπαγές χώρο ελέγχων και αποδεικνύουμε ιδιότητες της αντίστοιχης συνάρτησης αξίας ως λύση ιξώδους μιας παραλλαγμένης HJB εξίσωσης, οι οποίες σχετίζονται με μονοτονία, ημικυρτότητα, καθώς και με το υποδιαφορικό αυτής. Στη συνέχεια εξάγουμε αρκετά αποτελέσματα ομαλότητας για την αρχική συνάρτηση αξίας (ευημερίας), με χρήση αυτού του αποτελέσματος. Επίσης παρουσιάζουμε τρία διαφορετικά αριθμητικά σχήματα, το «προς τα εμπρός», το «προς τα πίσω» και το «προσήνεμο», για την προσέγγιση της λύσης ιξώδους, στα οποία γίνεται χρήση πεπερασμένων διαφορών για την προσέγγιση των χωρικών παραγώγων. Η σύγκλισή τους αποδεικνύεται με χρήση προτάσεων σταθερών σημείων. Για την πιστοποίηση των αριθμητικών αποτελεσμάτων, τα συγκρίνουμε με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη λεγόμενη Μέθοδο Απλής Στόχευσης (Simple Shooting Method), την οποία χρησιμοποιούμε ως το «χρυσό δεδομένο». Το μικρό μέσο σχετικό σφάλμα για όλες τις περιπτώσεις (διαφορετικός αριθμός σαγματικών σημείων, διαφορετικό χωρικό βήμα) αποδεικνύει την ακρίβεια των αριθμητικών προσεγγίσεων. Η δεύτερη εφαρμογή που αναλύουμε σχετίζεται με την γεωμετρική αναπαράσταση του Ανευρύσματος Κοιλιακής Αορτής (ΑΚΑ), μιας τοπικής διαστολής του τοιχώματος της αορτής. Μια αξιόπιστη εκτίμηση του κινδύνου ρήξης ενός ΑΚΑ απαιτεί ακριβείς μετρήσεις των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του. Επομένως, ο βασικός στόχος της μελέτης αυτής της εφαρμογής είναι η εξαγωγή των συνόρων θρόμβου και εξωτερικού τοιχώματος από εγκάρσιες τομές ενός τρισδιάστατου πακέτου εικόνων-δεδομένων του ΑΚΑ (αξονικές τομογραφίες -αγγειογραφίες, καλούμενες CTA στη διεθνή βιβλιογραφία), με χρήση Μεθόδων Συνόλου Στάθμης (ΜΣΣ, καλούμενες Level Set Methods στη διεθνή βιβλιογραφία) και νέων γεωμετρικών μεθόδων για την αντιμετώπιση του βασικού προβλήματος της μη ύπαρξης κατάλληλης αντίθεσης στη φωτεινότητα μεταξύ του θρόμβου και του περιβάλλοντα ιστού. Εργαλεία όπως η απεικόνιση αντιστροφής και η κυρτή θήκη μίας κλειστής καμπύλης χρησιμοποιούνται για τον εντοπισμό και την ανακατασκευή αυτών των συνόρων, εκμεταλλευόμενοι την ύπαρξη ασβεστώσεων, οι οποίες εντοπίζονται συνδυάζοντας αυτά τα εργαλεία με μία τεχνική οριοθέτησης της έντασης της εικόνας (thresholding). Επίσης, παρουσιάζουμε τρία νέα κριτήρια διακοπής για την αντιμετώπιση των προβλημάτων διαρροής που παρουσιάζουν οι ΜΣΣ και μία μέθοδο για τον εντοπισμό των περιοχών διαρροής. Η Μέθοδος Ταχείας Ανάπτυξης (ΜΤΑ, καλούμενη Fast Marching Method στη διεθνή βιβλιογραφία) χρησιμοποιείται αρχικά για την επίλυση ενός άλλου προβλήματος της ΜΣΣ, της σχετικά μικρής ταχύτητας, με κατάλληλες τροποποιήσεις για την περίπτωση δύσκολων στην κατάτμηση εικόνων. Σε περιοχές με λίγες ή καθόλου ασβεστώσεις προτείνουμε μία τεχνική παρεμβολής αποστάσεων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να πάρουμε τα δύο σύνορα, αν κρίνεται απαραίτητο. Στη συνέχεια κατασκευάσαμε και παρουσιάζουμε κάποιες τεχνητές εικόνες που εξομοιώνουν τις πραγματικές περιπτώσεις με σκοπό την εξέταση της ευελιξίας των μεθόδων. Επίσης αναλύεται η ευαισθησία των μεθόδων στις αλλαγές των τιμών των παραμέτρων, καθώς και η αναπαραγωγιμότητά τους, ενώ παρουσιάζεται και ο χρόνος κατάτμησης. Έχοντας ως στόχο την σύγκριση με τα αποτελέσματά μας, ειδικός αγγειοχειρούργος πραγματοποίησε χειροκίνητες κατατμήσεις στις τομές πακέτων δεδομένων δέκα ασθενών (450 τομές). Για την εκτίμηση του σφάλματος στην κατάτμηση του εξωτερικού τοιχώματος χρησιμοποιήσαμε διάφορες ποσότητες, τρεις από τις οποίες είναι η μέση απόσταση, η περιοχή επικάλυψης και το σχετικό σφάλμα του όγκου. Για την πιστοποίηση των αποτελεσμάτων για τον θρόμβο, δημιουργήθηκε μία μέθοδος που προσεγγίζει το μέσο πάχος του τοιχώματος ενός ΑΚΑ, στην οποία γίνεται χρήση ενός άλλου εργαλείου, της διαίρεσης μίας καμπύλης σε τομείς με χρήση του κέντρου βάρους της. Τα αποτελέσματά μας για το εξωτερικό τοίχωμα και για το μέσο πάχος τοιχώματος είναι συγκρίσιμα με προηγούμενες τιμές που έχουν αναφερθεί στη σχετική βιβλιογραφία, στην οποία, όμως, δεν έχει παρατηρηθεί πουθενά κατάτμηση του συνόρου του θρόμβου, τουλάχιστον όχι με χρήση των ΜΣΣ. Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι γεωμετρικά ακριβείς τρισδιάστατες αναδομήσεις της ανατομίας ενός ΑΚΑ μπορούν να παραχθούν μέσω μεθόδων κατάτμησης βασισμένων στις ΜΣΣ, πάνω σε ιατρικές εικόνες που προέρχονται από την διαθέσιμη τεχνολογία παραγωγής τους. Αυτή η πληροφορία της γεωμετρίας είναι πολύ σημαντική για την τελική επίτευξη ενός αξιόπιστου, προσαρμοσμένου στον ασθενή, μέτρου του κινδύνου ρήξης ενός ΑΚΑ.