ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Abstract

WE CONSIDER AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR SYSTEMS DEFINED BY NONLINEAR ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. USING RELAXATION THEORY WE PROVE THE EXISTENCE OF OPTIMAL RELAXED CONTROLS AND DERIVE NECESSARY CONDITIONS OF OPTIMALITY. WETHEN DISCRETIZE THE PROBLEM BY USING A FINITE ELEMENT METHOD AND PROVE THE ANALOGUE THEOREMS FOR THE DISCRETE PROBLEM. MOREOVER, WE STUDY THE BEHAVIOR IN THELIMIT OF THE PROPERTIES OF OPTIMALITY AND EXTREMALITY. FINALLY, WE APPLY OPTIMIZATION METHODS WITH RELAXED CONTROLS TO THE ABOVE PROBLEMS AND ALSO A METHOD OF APPROXIMATION OF RELAXED CONTROLS BY CLASSICAL ONES.

ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ. ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. ΕΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΟΥΜΕ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΤΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΟΥΝ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. ΤΕΛΟΣ, ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΜΕ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΘΩΣ ΜΕΘΟΔΟ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΜΕ ΚΛΑΣΙΚΟΥΣ.