Μαθηματικά και αριθμητικά μοντέλα για προβλήματα αλλαγής φάσης υλικών

Abstract

In this Ph.D. thesis, we solve numerically a phase field model describing the phase change of tow materials (e.g. solidification) in tow space dimensions, due to McFadden, Wheeler, Sekerka, Wang. We seek two smooth functions, the phase indicator function ..., and the temperature ... These are defined for ... ...are known function of there are arguments Α is a 2 ... 2 matrix of function that depend an θ, and is given by...where ... is appropriate trigonometric function of ... Since the model is nonlinear and does not have in general closed form solutions, we solve it by numerical methods. We was finite difference schemes, for example the forward Euler method for the system p.d.e. and the Crank-Nicolson-Alternating Direction Implicit method for the send. In additions we present another finite difference method that uses the Crank- Nicolson-ADI scheme in both equations. For these numerical schemes we prove rigorous errors estimates and stability. For the fast solution of the scheme we development parallel methods which may be implemented in 1, 2, 4 processors and analyzed the efficiency of the parallel algorithm on such computing environment. Finally, we present the results of numerical experiment with these schemes that shows the motion of the interface between the two phases of the method and the onset of dendrite formation

Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή επιλύουμε αριθμητικά ένα μοντέλο πεδίου φάσης για προβλήματα αλλαγής φάσης υλικών σε δύο χωρικές διαστάσεις που οφείλεται στους McFadden, Wheeler, Sekerka, Wang. Ζητούμε δύο αρκετά ομαλές συναρτήσεις, την συνάρτηση φάσης και τις θερμοκρασίας. Αυτές ορίζονται για ..., όπου ... είναι γνωστές συναρτήσεις και ο Α είναι ένας 2 2 πίνακας συναρτήσεων που εξαρτώνται από το θ, της μορφής ... όπου το ... είναι κατάλληλη τριγωνομετρική συνάρτηση του ... Δεδομένου ότι το μοντέλο είναι μη γραμμικό, και δεν έχει γενικά αναλυτική λύση, καταφεύγουμε στην επίλυση με αριθμητικές μεθόδους. Για την αριθμητική επίλυση χρησιμοποιούμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών όπως η άμεση μέθοδος Euler για την πρώτη εξίσωση και η μέθοδος Crank-Nicolson-Εναλασσομένων Κατευθύνσεων (ADI) για την δεύτερη. Επίσης παρουσιάζουμε μια δεύτερη αριθμητική μέθοδο πεπερασμένων διαφορών που επιλύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματός με την μέθοδο Crank-Nicolson-Εναλασσομένων Κατευθύνσεων (ADI). Για τις παραπάνω αριθμητικές τεχνικές αποδείξαμε τόσο την ευστάθεια όσο και τη σύγκλισή τους. Για την ταχύτερη υλοποίηση των αλγορίθμων αναπτύξαμε παράλληλα σχήματα που μπορούν να επιλυθούν ταυτόχρονα σε 1, 2 ή 4 επεξεργαστές, και αναλύσαμε την απόδοση των παράλληλων αλγορίθμων σε τέτοια υπολογιστικά προβλήματα. Τέλος παρουσιάζουμε αποτελέσματα αριθμητικών πειραμάτων που δείχνουν την κίνηση της διεπιφάνειας κατά την αλλαγή φάσης του μετώπου και την έναρξη δημιουργίας δενδριτών