Διαισθητικές αντιλήψεις των μαθητών για την εφαπτόμενη ευθεία στην ανάλυση

Abstract

Η μελέτη της έννοιας της εφαπτομένης ως χαρακτηριστικής περίπτωσης αναλυτικής έννοιας μπορεί να μας διαφωτίσει για τη γνωστική μετάβαση των μαθητών από τις διαισθητικές απόψεις τους για έννοιες της Ανάλυσης στην τυπική μαθηματική γνώση. Στην εργασία αυτή μελετάμε τους τρόπους με τους οποίους αντιλαμβάνονται την εφαπτομένη ευθεία γραφικής παράστασης συνάρτησης μαθητές που την έχουν συναντήσει σε διαφορετικά πλαίσια (Ευκλείδεια Γεωμετρία, Αναλυτική Γεωμετρία και Ανάλυση). Επιπλέον, προτείνουμε μία διδακτική προσέγγιση με χρήση δυναμικών ηλεκτρονικών περιβαλλόντων για την εισαγωγή στην έννοια της παραγώγου μέσω της εφαπτομένης ευθείας με στόχο τη διευκόλυνση αυτής της γνωστικής μετάβασης και την ανασκευή των αντιλήψεων των μαθητών. Η έρευνα' χωρίστηκε σε τρία στάδια. Στα δύο πρώτα στάδια χορηγήθηκαν ερωτηματολόγια σε 196 μαθητές της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου και 182 πρωτοετείς φοιτητές μαθηματικών τμημάτων. Αρχικά, τα δεδομένα αναλύθηκαν ποσοτικά ξεχωριστά για τις δύο ομάδες συμμετεχόντων. Έγινε ταξινόμηση των συμμετεχόντων σε τρεις διακριτές ομάδες με Ανάλυση Άδηλων Κλάσεων (LCA) και εντοπίστηκαν, αρχικά στους μαθητές, παράγοντες που επηρεάζουν τον τρόπο σκέψης για την εφαπτομένη οι οποίοι, μετέπειτα, επιβεβαιώθηκαν και στους φοιτητές. Οι παράγοντες αυτοί ελέγχθηκαν με Επιβεβαιωτική Ανάλυση Παραγόντων (CFA). Ακολούθως, έγινε σύγκριση των επιδόσεων των δύο ομάδων και της ταξινόμησής τους. Στη συνέχεια, αναλύθηκαν ποιοτικά οι γραπτές απαντήσεις των φοιτητών ως προς τον τρόπο που όριζαν την εφαπτομένη και αιτιολογούσαν τις επιλογές τους στο ερωτηματολόγιο. Στο τρίτο στάδιο σχεδιάστηκε διδακτική παρέμβαση η οποία έλαβε υπόψη τα αποτελέσματα από τα προηγούμενα στάδια και εφαρμόστηκε σε μία τάξη 15 μαθητών της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου. Η LCA ανάλυση υπέδειξε την ταξινόμηση των μαθητών και φοιτητών σε τρεις διακριτές ομάδες που συνδέθηκαν με διαφορετικές αντιλήψεις για την εφαπτομένη. Την Αναλυτική Τοπική στην οποία τα κριτήρια είναι αναλυτικά και εφαρμόζονται τοπικά στο σημείο επαφής, την Γεωμετρική Ολική στην οποία τα κριτήρια είναι γεωμετρικά και εφαρμόζονται ολικά στη σχέση ευθείας και καμπύλης και την Ενδιάμεση Τοπική αντίληψη στην οποία τα κριτήρια είναι γεωμετρικά αλλά εφαρμόζονται τοπικά σε μια περιοχή του σημείου επαφής. Επίσης, εντοπίσθηκαν επτά παράγοντες που σχετίζονται με ιδιότητες της εφαπτομένης και το συμβολικό χειρισμό της οι οποίοι επηρεάζουν τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές σκέφτονται για αυτή την έννοια. Στη συνέχεια, η ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των φοιτητών ανέδειξε ένα φάσμα οκτώ εικόνων εφαπτομένης και δεκαπέντε προσωπικών ορισμών των μαθητών μεταξύ της Αναλυτικής Τοπικής και της Γεωμετρικής Ολικής αντίληψης. Φάνηκε ότι αρκετοί μαθητές δεν καταφέρνουν να γενικεύσουν ανακατασκευάζοντας τις εικόνες που έχουν από τη Γεωμετρία και να σχηματίσουν μία πλήρη εικόνα για την εφαπτομένη γραφικής παράστασης στην Ανάλυση. Αντίθετα, σχηματίζουν εικόνες που είναι αποτέλεσμα της μίξης των παλαιών και νέων γνώσεων τους. Ειδικά όταν μεσολαβεί κάποιο διάστημα που δεν έχουν ασχοληθεί συστηματικά με την έννοια επανέρχεται η επίδραση των γεωμετρικών στοιχείων από την εφαπτομένη του κύκλου, παρόλο που οι επιδόσεις τους σε ασκήσεις συμβολικού χειρισμού είναι ικανοποιητικές. Στη διδασκαλία που σχεδιάσαμε, υλοποιήσαμε και αξιολογήσαμε ο ορισμός της εφαπτομένης γραφικής παράστασης εξελίχθηκε από ελλιπείς μορφές σε πληρέστερες. Παράλληλα εξελίχθηκαν και βελτιώθηκαν οι εικόνες των μαθητών για την εφαπτομένη με την υποστήριξη κρίσιμων χαρακτηριστικών της διδασκαλίας που αξιοποιήθηκαν σε καίριες στιγμές (π.χ. ο δυναμικός χειρισμός των κατασκευών, το παράθυρο μεγέθυνσης, οι μετρήσεις, οι πολλαπλές αναπαραστάσεις). Ιδιαίτερα χρήσιμη ήταν η αναφορά σε συγκεκριμένα παραδείγματα συναρτήσεων.