Μαθηματική γνώση των εκπαιδευτικών για τη διδασκαλία των ανώτερων μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Abstract

The central perspective adopted by the present thesis is that secondary school students and teachers often use intuitive and empirical approaches in teaching mathematics not necessarily compatible to the formal mathematics they had been taught in the University. Moreover, for certain mathematical concepts taught in secondary education, particularly those related to Advanced Mathematics, such as the concepts of limit, infinity and real number, the complete mathematical definitions and their theoretical foundations are rarely taken into serious consideration. Thus, during the teaching practice the teacher cannot use the formal knowledge that he has acquired in his university studies because it is not included in the curriculum. What he is trying to develop in students is an understanding of these concepts using intuitive and empirical approaches and in some cases extends to issues related to the wider area of the concepts under consideration.The research problem addressed in the thesis is secondary teachers’ conceptions and reasoning developed when dealing with Lyceum students’ misconceptions about decimal representations of decimal numbers with period 9 presented in an appropriate teaching scenario.The review of literature draws on Shulman’s ideas about subject matter knowledge being a special professional knowledge of the teacher for teaching needs. As regards mathematics education, we are based on the model of Mathematical Knowledge for Teaching introduced by Deborah Ball and her associates. We also use elements and empirical findings of studies exploiting theoretical approaches related to Advanced Mathematical Knowledge and Thinking in order to establish a framework that would allow us to appropriately explore teachers' conceptions and reasoning of the particular advanced mathematical knowledge under consideration in our study, when thought for teaching purposes.Our data are 106 teachers’ written answers to questions that were drawn up on the basis of a teaching scenario related to the views of a number of hypothetical students on decimal numbers with period 9, as well as to questions of a semi-structured interview with fifteen of these teachers. A combination of quantitative and qualitative methods is adopted for the data analysis. Initially, a quantitative data analysis is carried out offering an overall mapping of the teachers’ conceptions. Then, techniques of Grounded Theory approach are being used to identify features of their reasoning. The outcomes of the first part of the data analysis indicate that the conceptions of the majority of teachers that participated in the study are basically of procedural type, are unclear, contain contradictions and are influenced by the (hypothetical) students’ views. Furthermore, their suggested teaching approaches in order to handle these students’ misconceptions are mainly informal and intuitive. Few teachers appeal to teaching approaches that are mathematically correct, however carried out in a purely formalistic way and being unable to communicate or support the students’ intuitive concerns. A small percentage of teachers manages to combine significantly mathematical correctness and formalism with the students’ intuitive concerns. Thus, most teachers do not seem to be in the position to use efficiently in their teaching practice the Advanced Mathematics knowledge studied in their University courses. The second part of the data analysis features a number of semiotic, ontological, epistemological and philosophic issues in the participating teachers’ discourse, which determine the content and the background of the mathematical reasoning unfolded, describing, in this way, some of the basic characteristics of the Advanced Mathematical Knowledge that is required to support the teaching of related mathematical concepts in secondary education level.In this research it is documented that, teachers who are aware of the epistemological obstacles, the particular semiotic features of the representations, and the ontological and philosophical background of the concepts being negotiated, can support productive these relevant discussions with students and interpret students’ approaches by making use of the emerging connections between concepts and representations. This set of teachers’ cognitive elements which transcends the formal mathematical domain can be linked to what is called in the literature horizon content knowledge forming a framework of interpreting and supporting teachers on broader contexts of concepts that inevitably develop in teaching practice.

Αποτελεί βασική παραδοχή της παρούσας διατριβής ότι στο διδακτικό πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μαθητές και εκπαιδευτικοί χρησιμοποιούν συχνά διαισθητικές και εμπειρικές προσεγγίσεις κατά την διαπραγμάτευση των μαθηματικών εννοιών χωρίς να περιορίζονται στις τυπικές μαθηματικές γνώσεις όπως αυτές αποτυπώνονται στα επίσημα εγχειρίδια. Επίσης, για κάποιες μαθηματικές έννοιες και ιδιαίτερα αυτές των Ανώτερων Μαθηματικών που διδάσκονται ή χρησιμοποιούνται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, όπως, του ορίου, του απείρου, του πραγματικού αριθμού, δεν προσφέρονται οι αυστηροί μαθηματικοί τους ορισμοί και οι θεωρητικές τους θεμελιώσεις. Έτσι, κατά τη διδακτική πρακτική ο εκπαιδευτικός δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει την τυπική γνώση που έχει αποκτήσει στις πανεπιστημιακές του σπουδές επειδή αυτή η γνώση δεν περιέχεται στη διδακτέα ύλη. Αυτό που επιχειρεί να αναπτύξει στους μαθητές είναι μια αντίληψη γι’ αυτές τις έννοιες χρησιμοποιώντας διαισθητικές και εμπειρικές προσεγγίσεις και σε κάποιες περιπτώσεις επεκτείνεται σε ζητήματα που αφορούν την ευρύτερη περιοχή που εντάσσεται η έννοια που διαπραγματεύεται.Στην παρούσα διατριβή, μελετώνται σε πρώτη φάση οι αντιλήψεις και σε δεύτερη φάση η συλλογιστική των εκπαιδευτικών αναφορικά με τις αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με περίοδο 9 που αναπτύσσονται με βάση τη διάγνωση και την διδακτική διαχείριση σχετικών παρανοήσεων (υποθετικών) μαθητών Λυκείου που παρουσιάζονται σε ένα διδακτικό σενάριο. Το θεωρητικό πλαίσιο της έρευνας βασίζεται στις ιδέες του L. Shulman και των συνεργατών του, που ανέδειξαν τη γνώση του αντικειμένου διδασκαλίας ως ιδιαίτερη επαγγελματική γνώση του εκπαιδευτικού για τις ανάγκες της διδασκαλίας. Όσον αφορά την εξειδίκευσή του, στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης βασιζόμαστε στο μοντέλο της Μαθηματικής Γνώσης για τη Διδασκαλία που διαμορφώθηκε από την ερευνητική ομάδα της D. Ball. Αξιοποιούμε επίσης, στοιχεία από τις θεωρητικές και εμπειρικές προσεγγίσεις της Ανώτερης Μαθηματικής Γνώσης και Σκέψης προκειμένου να διαμορφώσουμε ένα πλαίσιο ερμηνείας και καταγραφής της συλλογιστικής των εκπαιδευτικών που μελετάμε στην έρευνά μας.Τα δεδομένα μας προέρχονται από τις γραπτές απαντήσεις 106 εκπαιδευτικών στα ερωτήματα που βασίστηκαν σε ένα διδακτικό σενάριο, σχετικό με τις αντιλήψεις κάποιων υποθετικών μαθητών για τους δεκαδικούς αριθμούς με περίοδο 9 και από τις ημιδομημένες συνεντεύξεις δεκαπέντε εξ’ αυτών. Η ανάλυση των δεδομένων έγινε με ένα συνδυασμό ποσοτικών και ποιοτικών μεθόδων. Αρχικά κατηγοριοποιούνται και αναλύονται ποσοτικά τα δεδομένα, προσφέροντας έναν ολιστικό τρόπο αποτύπωσης των αντιλήψεων των εκπαιδευτικών. Στη συνέχεια, αξιοποιούνται τεχνικές της Θεμελιωμένης Θεωρίας για την ταυτοποίηση των αναδυόμενων κατηγοριών.Τα αποτελέσματα της πρώτης φάσης της ανάλυσης δείχνουν ότι οι αντιλήψεις της πλειονότητας των εκπαιδευτικών που συμμετείχαν στην έρευνα είναι κατά βάση διαδικαστικού τύπου, παρουσιάζουν ασάφειες και συχνά αντιφάσεις, ενώ επηρεάζονται σημαντικά από τις τοποθετήσεις των μαθητών. Αντίστοιχα, οι διδακτικές τους προσεγγίσεις προκειμένου να διαχειριστούν τις παρανοήσεις των μαθητών του σεναρίου είναι κυρίως άτυπες και διαισθητικές. Ένα μικρότερο ποσοστό των εκπαιδευτικών περιορίζεται σε διδακτικές προσεγγίσεις μαθηματικά ορθές, αλλά με καθαρά φορμαλιστικό τρόπο, αδυνατώντας να επικοινωνήσει ή να υποστηρίξει τις διαισθητικές ανησυχίες των μαθητών. Τέλος, ένα πολύ μικρό ποσοστό των εκπαιδευτικών καταφέρνει να συνδυάσει ουσιαστικά τη μαθηματική ορθότητα και το φορμαλισμό με τις διαισθητικές ανησυχίες των μαθητών. Έτσι, διαπιστώνεται ότι το μεγαλύτερο μέρος των εκπαιδευτικών δεν αξιοποιεί ικανοποιητικά στη διδακτική πρακτική τις γνώσεις των Ανώτερων Μαθηματικών που μελέτησε στις πανεπιστημιακές σπουδές του.Στο δεύτερο επίπεδο ανάλυσης έχουν μελετηθεί σημειωτικά, επιστημολογικά, φιλοσοφικά και οντολογικά ζητήματα στο λόγο των εκπαιδευτικών τα οποία προσδιορίζουν το περιεχόμενο και το υπόβαθρο της συλλογιστικής τους, περιγράφοντας έτσι, κάποια βασικά χαρακτηριστικά της Ανώτερης Μαθηματικής Γνώσης που απαιτείται για την υποστήριξη της διδασκαλίας σχετικών μαθηματικών εννοιών στο επίπεδο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.Στην έρευνα αυτή τεκμηριώνεται ότι οι εκπαιδευτικοί που έχουν επίγνωση των επιστημολογικών εμποδίων, των ιδιαίτερων σημειωτικών χαρακτηριστικών των αναπαραστάσεων καθώς και του οντολογικού και φιλοσοφικού υπόβαθρου των εννοιών που διαπραγματεύονται μπορούν να υποστηρίζουν παραγωγικά τις σχετικές συζητήσεις με τους μαθητές και να ερμηνεύουν με ευρύτητα και βάθος τις προσεγγίσεις τους αξιοποιώντας λειτουργικά τις αναδυόμενες συνδέσεις μεταξύ εννοιών και αναπαραστάσεων. Το σύνολο αυτό των γνωστικών στοιχείων του εκπαιδευτικού το οποίο ξεπερνά το αυστηρά μαθηματικό πεδίο μπορεί να συνδεθεί με αυτό που στη βιβλιογραφία αποκαλείται ορίζοντας της γνώσης του περιεχομένου διαμορφώνοντας έτσι ένα πλαίσο ερμηνείας και υποστήριξης των εκπαιδευτικών για ζητήματα του ευρύτερου περιβάλλοντος των εννοιών τα οποία αναπόφευκτα αναπτύσσονται στη διδακτική πρακτική.