Εννοιολογική αλλαγή στα μαθηματικά: η περίπτωση της άλγεβρας

Abstract

The purpose of the series of studies presented in this thesis was to investigate the ways students interpret the use of literal symbols in algebra. More specifically the kind of numbers that students tend to assign to the literal symbols when they are presented as variables in different algebraic contexts. It is presented a literature review of prior research in the field and the different perspectives proposed to explain students’ difficulties with the algebraic notation. It follows a brief historical review of the development of the algebraic notation and the conceptual difficulties that the mathematical community had to overcome in order to adopt the new symbolism. It follows an introduction of the theoretical framework of conceptual change which was used in order to express specific hypothesis about the ways students interpret the use of literal symbols to stand for numbers in algebra. We argued that understanding the concept of variable as a symbol which could stand for any real number, is built upon students’ prior knowledge of numbers in arithmetic. Students’ knowledge of numbers is initially organized around natural numbers and this knowledge has formed an alternative framework theory of number. This framework acts as a natural number bias, which may inhibit students’ understanding of non-natural number concepts. We hypothesized that the natural number bias would affect students’ understanding of the use of literal symbols in algebra, and more specifically that students would tend to think of them as standing for natural numbers only as opposed to any real number. In the series of empirical studies conducted with secondary school students (8th to 10th graders, 13- 16 year old) we investigated this hypothesis in different mathematical contexts such as in algebraic expressions, functions, square roots, inequalities, and absolute values. The results showed that there is strong tendency on the part of the students to assign only natural numbers to the literal symbols even when this resulted to erroneous responses. It also appeared that the natural number bias affected students to misinterpret the phenomenal sign of the algebraic expressions - which is the sign that an algebraic expression appears to have as a superficial characteristic of its form - to be the actual sign of the numbers that they could only represent. For example, they tended to think that phenomenally positive expression such as 4g could only stand for positive numbers and not for negative numbers, and vice versa in the case of the phenomenally negative –b. A teaching intervention which targeted to help students overcome the phenomenal sign misinterpretation by taking under consideration students’ prior knowledge of numbers in arithmetic and the natural number bias, indicated that such interventions could be effective as long as they have long-term perspectives and focus on the development of the number concept.

Σκοπός της παρούσα διατριβής ήταν να μελετηθεί ο τρόπος με τον οποίο κατανοούν οι μαθητές την έννοια της μεταβλητής και πιο συγκεκριμένα τη χρήση των γραμμάτων ως σύμβολα αριθμών στην άλγεβρα. Στα πλαίσια της διατριβής έγινε μια εκτενής παρουσίαση του θεωρητικού πλαισίου της εννοιολογικής αλλαγής το οποίο υιοθετήθηκε. Έγινε επίσης μια ιστορική αναφορά στην εξέλιξη της υιοθέτησης του αλγεβρικού συμβολισμού από τους μαθηματικούς, εστιάζοντας στα επιστημολογικά εμπόδια και τις εννοιολογικές δυσκολίες που έπρεπε να ξεπεράσουν. Βασική υπόθεση της έρευνας ήταν ότι οι μαθητές θα κατανοούν τις μεταβλητές στα πλαίσια του εναλλακτικού τους πλαισίου για τους αριθμούς, που είναι οργανωμένο γύρω από το φυσικό αριθμό, με αποτέλεσμα συγκεκριμένα λάθη και παρερμηνείες σε διάφορα αλγεβρικά πλαίσια. Τα αποτελέσματα των Πειραμάτων 1 και 2 έδειξαν ότι το εναλλακτικό πλαίσιο των μαθητών για τον αριθμό, που είναι οργανωμένο γύρω από το φυσικό αριθμό, επιβάλει στην κατανόηση της χρήσης των γραμμάτων στην άλγεβρα, δύο προϋποθέσεις: α) την ακεραιότητα, δηλαδή ότι τα γράμματα αναπαριστούν ακέραιους αριθμούς και όχι κλάσματα ή δεκαδικούς αριθμούς και β) την φαινομενικότητα του προσήμου, δηλαδή ότι το φαινομενικό πρόσημο μιας αλγεβρικής παράστασης, είναι το πραγματικό πρόσημο των τιμών που δύναται να αναπαραστήσει. Φαινομενικό πρόσημο είναι το πρόσημο που φαίνεται να έχει μια αλγεβρική παράσταση, ως εξωτερικό χαρακτηριστικό της μορφή της. Οι μαθητές έτειναν να θεωρούν ότι φαινομενικά θετικές αλγεβρικές παραστάσεις, όπως η 4γ, αναπαριστούν μόνο θετικούς και όχι αρνητικούς αριθμούς, και αντίστροφα για την φαινομενικά αρνητική παράσταση -β. Η παρερμηνεία του φαινομενικού προσήμου δεν είναι μια ανεξάρτητη και ασύνδετη παρερμηνεία αλλά μια έκφανση της τάσης των μαθητών να θεωρούν τα γράμματα στην άλγεβρα ως σύμβολα φυσικών αριθμών, όπως φάνηκε από τα αποτελέσματα του Πειράματος 3. Τέλος, στο Πείραμα 4, σχεδιάσαμε και εφαρμόσαμε μια διδακτική παρέμβαση που λάμβανε υπόψη την προϋπάρχουσα γνώση των μαθητών και τις λανθασμένες πεποιθήσεις τους σε σχέση με τη χρήση των γραμμάτων ως αλγεβρικά σύμβολα και που στόχευε να τους βοηθήσει να διορθώσουν την παρερμηνεία του φαινομενικού προσήμου. Με βάση τα αποτελέσματα αυτού του πειράματος αναφερθήκαμε στις παιδαγωγικές εφαρμογές των παραπάνω επισημάνσεων διατυπώνοντας συγκεκριμένες διδακτικές προτάσεις που θα υποστήριζαν τη μαθηματική κατανόηση της χρήσης των γραμμάτων ως γενικευμένους πραγματικούς αριθμούς.