Συναρτησιοαναλυτικές μέθοδοι σε μη γραμμικά στάσιμα και εξελικτικά προβλήματα

Abstract

Η εργασία αυτή μελετά μη-γραμμικά στάσιμα και εξελικτικά προβλήματα κάνοντας χρήση μεθόδων της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Λόγω της εκφυλισμένης φύσης των εξισώσεων αλλά και της ύπαρξης μη συμπαγών τελεστών για τη μελέτη των στάσιμων προβλημάτων χρησιμοποιούνται Χώροι Lebesque και Sobolev με Βάρος (Weighted Lebesque and Sobolev Spaces). Για τα μεν στάσιμα προβλήματα, στόχος είναι η απόδειξη ύπαρξης πρωτεύοντος ιδιοζεύγους χρησιμοποιώντας μεταβολικές και άλλες μεθόδους της Φασματικής Ανάλυσης (spectral analysis) καθώς και η απόδειξη ύπαρξης 'θετικού κλάδου Τοπικής και Ολικής Διακλάδωσης με τη βοήθεια των μεταβολικών μεθόδων (variational methods) και της Θεωρίας Τοπολογικού Βαθμού (topological degree). Στη συνέχεια η μελέτη επεκτείνεται σε εξελικτικά προβλήματα, όπου στόχο αποτελεί η απόδειξη ύπαρξης και μοναδικότητας ολικής λύσης για ένα εξελικτικό σύστημα τύπου Klein-Gordon-Schrödinger και η απόδειξη ύπαρξης ενός συμπαγούς, αναλλοίωτου υποσύνολου του χώρου φάσεων (ολικός ελκυστής) (Global Attractor), το οποίο έλκει ομοιόμορφα όλες τις τροχιές, για δεδομένες αρχικές συνθήκες σε ένα φραγμένο σύνολο με τη βοήθεια της Θεωρίας των Απειροδιάστατων Δυναμικών Συστημάτων (Dynamical Systems Theory). […]