Ανάπτυξη και εφαρμογές του αλγόριθμου S.Q.A. για την επίλυση προβλημάτων παραμετρικής βελτιστοποίησης της απόκρισης εύκαμπτων μη - γραμμικών δυναμικών συστημάτων

Abstract

Compared to conventional, robust and bulky dynamic systems, lightweight flexible manipulators show remarkable advantages such as the possibility of performing greater variety of tasks in a remarkably wider scale, agility, faster response, manipulation of larger carried mass, the need for smaller drives reflecting to energy saving, easier transportation and installation and so on.The steering of modern lightweight manipulators usually sets problems that cannot be effectively resolved by the theoretical substratum within the framework of traditional analysis and design methodologies. These problems require the fulfillment of various and qualitatively diverse criteria and introduce decision variables in excess of those manageable by the classical methodologies. Further difficulties arise in the case of flexible arm systems, as it is usually necessary to adopt doubtful assumptions regarding the properties of the manipulated system, such as the invariance of the dynamic model parameters or the negligible influence of disturbance phenomena.In the afore-mentioned frame of requirements and conditions, it is very hard to derive distinct mathematical expressions for the degree of fulfillment of the particular criteria, as well as for the overall optimization problem formulation. Consequently, many researchers in the field resort to efficient non-conventional solution techniques, including the implementation of various parameter optimization methodologies. The current response optimization applications can be grouped in two main categories: the off-line design and the on-line applications. The first one, being to date the most popular, is the main research field of the present dissertation.The modern computing environments and the available software applications facilitate the development of increasingly powerful numerical tools for analyzing dynamic systems response. This way, the response calculation and through this, the evaluation of various test versions of a specific dynamic system and the consequent optimal selection can be realized easily, in the sense of not being time consuming and implying almost zero model manufacturing costs. The above can be performed for a practically unlimited range of excitation types and/or desired movements. To organize the relevant numerical procedure, one has to automatically generate various combinations of the design variables through an appropriate optimization algorithm.The response optimization of a dynamic system via the existing optimization methods necessitates parameterization of the physical problem (possibly by restating its original form), suitable formulation of a surrogate mathematical model (definition of objective function and equality and/or inequality constraints) and the choice of an appropriate optimization algorithm. The suitability of an algorithm for a category of problems depends on the form of the objective function, the possible existence of local optima, the number and the type (continuous or discrete) of the decision variables, the existence and the type of equality and inequality conditions, the computational cost for an analysis cycle, the required solution accuracy, etc.Flexible arms response optimization problems, typically, yield objective functions with singularities, hard to manipulate equality and inequality constraints and a multitude of localoptima combined with expensive analysis (each analysis cycle involves the solution of a non-linear system of differential equations in the time domain). Furthermore, for this type of problems, the analysis rarely provides information on the values of the derivatives of the objective function and the constraints with reasonable computational cost. The singular nature of the optimized function is further intensified in case that a series of pseudo-objective functions (e.g. penalty functions which incorporate the equality and/or inequality constraints in a weighted fashion) are utilized instead of the original one.The afore-mentioned peculiarities inherent to response optimization problems vitiate the classical deterministic optimization algorithms, which actually optimize a series of standard approximants of the (pseudo-)objective function and hence come up with unfortunate estimations for the optimum. This is typically the case when the mathematical model proposed does not succeed in effectively approximating the real objective function. Another significant complicating factor is the usual existence of many local optima, as the deterministic algorithms simply tend to converge to one of those closest to the optimization starting point.In the present dissertation a new optimization algorithm has been developed based on the specific nature of problems in parametric response optimization of non-linear dynamic systems including those of flexible manipulators. It is called “S.Q.A. algorithm” and relies on the deterministic model of Smoothed Quadratic Approximation surrogate function. This function is capable of exploiting unlimited amount of information coming from previous analyses, i.e. values of the objective function at points estimating the optimum during previous iterations. Another significant advantage of the S.Q.A function is its ability to overcome local singularities of the objective function. This way, the developed algorithm combines the main advantages of both deterministic optimization methodologies (swift and accurate optimum localization) and (semi-) stochastic ones (the ability to avoid sticking to local optima).The S.Q.A surrogate function is practically a compilation of smoothed quadratic approximations of the current (pseudo-) objective function. These approximations, which are explicitly presented in the third chapter, are formulated only upon zeroth order information and so that the existence and continuity of its first and second order derivatives is guaranteed even when the original objective function is discontinuous and/or its derivatives are discontinuous or do not exist. The formulation of the quadratic approximations mentioned above is always performed in relation with a specific starting point within the feasible domain and theoretically is capable of incorporating unlimited amount of available information (values of the objective function from previous, successful or not, estimations of the original global optimum).Every piece of available information (evaluation of the objective function for a specific combination of values of the decision variables) can be exploited (activated) at will, i.e. during any subsequent iteration and at any phase of the internal optimization procedure. The application of the proposed method in various cases showed that its effectiveness greatly depends on the quality of objective function approximations, which in turn depend on the multitude and distribution of the available information (analyzed points), the number of points and the rule by which they are selected to formulate any smoothed quadratic approximation, the formula for calculating the weights by which each point contributes to the approximationand a series of other adoptions which are detailed in chapters No. 2 and No. 3 of present thesis.The thesis at hand consists of eight (8) chapters. In the first chapter the most important response optimization methodologies are concisely presented in relevance with the available parameter optimization methodologies and the possibilities of intermediate mathematical problems formulation. Following, the primary, the secondary and the functional scopes of the dissertation are stated. The second chapter is about the step procedure to formulate the S.Q.A surrogate function and its basic properties, which are thereby proved (existence and continuity of partial derivatives up to the second order). We also set forth numerical data and graphical representations of the approximation for two characteristic cases of objective functions (one and two decision variables respectively). In the third chapter the theoretical background for second order optimization methods is briefly presented. Following, the structure of the basic version of the proposed algorithm is described. More specifically we analyze the main alternatives referring to the adaptability of S.Q.A algorithm to the specific nature of the optimization problem or a specific phase of the optimization procedure. The possible modifications of S.Q.A algorithm are explored in order to exploit potentially available information about the components of the gradient of the objective function. In forth section a parallel version of the S.Q.A algorithm is proposed which is fairly simple to implement and particularly useful for problems involving a relatively large number of decision variables and high computational cost per analysis. In chapter no. four many different test optimization problems are solved including functions with one, two or more local minima and with varying numbers of decision variables. In the fifth chapter the response of a half-car non-linear dynamic model is optimized when the vehicle run with invariable velocity over a constant inclination road irregularity, as well as over a sinusoidal one. The optimum response is defined according to the criterion of comfort (minimum absolute acceleration of vehicle center of gravity). A full set of diagrams is presented for both excitations cases corresponding to the most significant response variables (displacements, velocities, accelerations and adhesion forces).In chapter no. six a parameter optimization problem is formulated, including a series of equality and inequality constraints, equivalent to a classical optimal control problem of a discrete time system. Following, the detailed numerical results of parameter optimization procedure are presented.In the seventh chapter we select the parameter values of a non-linear control system applied to a single flexible arm for a wide range of values of the carried mass and for a complex sequence of angular displacement commands. Firstly, a field research of flexible arm systems is presented focusing on the most popular dynamic simulation methods, the utilized control systems and real – time response measuring techniques. Following, a full set of diagrams for the most significant response variables and the control signals is presented.In the eighth chapter the tip trajectory response of a non-linear dynamic system consisting of two jointed flexible arms is optimized for a wide range of values of the carried mass. In order to simulate the dynamic behavior of the system the equations of motion are greatly simplified by transfer to a Virtual Link Coordinate System (V.L.C.S). A full set of diagrams is also presented for the most significant response variables and the applied control torques.In chapter no. nine we evaluate the fulfillment of the primary, the secondary and the functional scopes of the dissertation, stated in the preclusive chapter. Finally, we express a series of propositions concerning the widening of S.Q.A algorithm applications as well as its potentials for further development.

Σε σχέση με τα συμβατικά στιβαρά, ογκώδη και δυσκίνητα δυναμικά συστήματα, τα ελαφρότερα συστήματα, όπως αυτά των εύκαμπτων βραχιόνων, παρουσιάζουν μια σειρά αξιοσημείωτων συγκριτικών πλεονεκτημάτων, όπως η δυνατότητα εκτέλεσης μεγαλύτερης ποικιλίας και μεγαλύτερης κλίμακας εργασιών, η ικανότητα πραγματοποίησης μεγαλύτερης ποικιλίας κινήσεων, η ταχύτερη λειτουργία, ο χειρισμός μεγαλύτερων φερόμενων μαζών, η χρήση υποσυστημάτων κίνησης μικρότερης ισχύος, η εξοικονόμηση ενέργειας, η ευκολότερη μεταφορά και (επαν)εγκατάσταση των ρομποτικών συστημάτων, κλπ. Η οδήγηση των σύγχρονων ελαφρών δυναμικών συστημάτων παραπέμπει όλο και συχνότερα στην ανάγκη επίλυσης προβλημάτων για τα οποία το υφιστάμενο θεωρητικό υπόβαθρο και οι κλασικές φιλοσοφίες σχεδιασμού και ανάλυσης αποδεικνύονται από ανεπαρκείς έως μη εφαρμόσιμες. Τα προβλήματα αυτά ενσωματώνουν απαιτήσεις πλήρωσης πολλών και ποιοτικά διαφορετικών κριτηρίων και εισάγουν μεταβλητές απόφασης πέραν αυτών που μπορούν να χειριστούν οι κλασικές θεωρητικές μεθοδολογίες. Επιπλέον δυσκολίες προκύπτουν για τα συστήματα των εύκαμπτων βραχιόνων, εφόσον η μελέτη τους συνδέεται με την αποδοχή υποθέσεων που σχετίζονται με τις ιδιότητες του δυναμικού συστήματος, όπως η υπόθεση της μη μεταβολής των παραμέτρων του μοντέλου προσομοίωσης στη διάρκεια του χρόνου ή η υπόθεση της αμελητέας επίδρασης των φαινόμενων θορύβου. Στο προαναφερθέν πλαίσιο απαιτήσεων και συνθηκών επίλυσης καθίσταται ιδιαίτερα δύσκολη η μαθηματική έκφραση του βαθμού πλήρωσης των επιμέρους κριτηρίων, καθώς και του συνολικού προβλήματος. Για το λόγο αυτό, πολλοί ερευνητές καταφεύγουν σε μη συμβατικές μεθόδους επίλυσης, όπως η χρήση μεθοδολογιών παραμετρικής βελτιστοποίησης της απόκρισης. Το σύνολο αυτών των εφαρμογών διακρίνεται σε δύο βασικές κατηγορίες, στις εφαρμογές μη πραγματικού χρόνου (off-line design) και στις εφαρμογές πραγματικού χρόνου (on-line applications). Η πρώτη εκ των δύο κατηγοριών, η οποία μέχρι στιγμής είναι και η πλέον δημοφιλής, αποτελεί το βασικό πεδίο έρευνας της παρούσας διατριβής. Η συνεχής διεύρυνση των δυνατοτήτων που παρέχουν τα σύγχρονα υπολογιστικά περιβάλλοντα και οι υπάρχουσες εφαρμογές λογισμικού διευκολύνουν την ανάπτυξη και εφαρμογή ισχυρότατων υπολογιστικών εργαλείων ανάλυσης της συμπεριφοράς των δυναμικών συστημάτων. Έτσι, η καταγραφή της απόκρισης διαφόρων δοκιμαστικών εκδόσεων ενός δυναμικού συστήματος, η αξιολόγησή τους και η επιλογή της καλύτερης εξ’ αυτών, για οποιοδήποτε εύρος διεγέρσεων ή/και επιθυμητών κινήσεων, μπορεί να υλοποιηθεί σχετικά εύκολα, σε μικρό χρόνο και με μηδενικό κατασκευαστικό κόστος. Για την οργάνωση της εν λόγω υπολογιστικής διαδικασίας απαιτείται η αυτοματοποίηση της γέννησης των συνδυασμών των επιμέρους σχεδιαστικών επιλογών, η οποία μπορεί να «ανατεθεί» σε έναν, κατά περίπτωση κατάλληλο, αλγόριθμο βελτιστοποίησης. Η βελτιστοποίηση της απόκρισης ενός δυναμικού προβλήματος με εφαρμογή μιας εκ των υφιστάμενων μεθοδολογιών βελτιστοποίησης προϋποθέτει την παραμετροποίηση του (με ενδεχόμενη αναδιατύπωση του προβλήματος), την κατάλληλη διαμόρφωση του ενδιάμεσου μαθηματικού προβλήματος βελτιστοποίησης (ορισμό της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών του) και φυσικά την επιλογή ενός ενδεδειγμένου αλγόριθμου βελτιστοποίησης. Το κατά πόσο ένας αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την επίλυση μιας κατηγορίας προβλημάτων εξαρτάται από τη μορφή της αντικειμενικής τους συνάρτησης, την ενδεχόμενη παρουσία τοπικών βέλτιστων, τον αριθμό και το είδος (συνεχείς ή διακριτές) των μεταβλητών απόφασης, την παρουσία το είδος και τον αριθμό των ισοτικών ή/και ανισοτικών συνθηκών, το υπολογιστικό κόστος της αριθμητικής επίλυσης, το ελάχιστο αποδεκτό επίπεδο ακρίβειας της λύσης, κλπ. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης της απόκρισης εύκαμπτων βραχιόνων έχουν κατά κανόνα ιδιόμορφη αντικειμενική συνάρτηση, δύσκολες, όσον αφορά το χειρισμό τους, ισοτικές ή/και ανισοτικές συνθήκες, πολλά και «ισχυρά» τοπικά βέλτιστα και υψηλότατο υπολογιστικό κόστος ανάλυσης, εφόσον κάθε φορά απαιτείται η επίλυση στο πεδίο του χρόνου ενός μη-γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον, η ανάλυση τους σπανίως μπορεί να παρέχει πληροφορίες που αφορούν στις παράγωγους της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών, χωρίς το αντίστοιχο υπολογιστικό κόστος να γίνεται απαγορευτικό. Η ιδιομορφία της βελτιστοποιούμενης συνάρτησης επιτείνεται όταν, αντί της αρχικής αντικειμενικής συνάρτησης, βελτιστοποιείται μία σειρά ψευδο-αντικειμενικών συναρτήσεων, στις οποίες έχει ενσωματωθεί ένα μέρος ή το σύνολο των ισοτικών ή/και ανισοτικών συνθηκών του προβλήματος. Οι προαναφερθείσες ιδιαιτερότητες των προβλημάτων βελτιστοποίησης απόκρισης καθιστούν αναποτελεσματικούς τους κλασικούς επαναληπτικούς αλγορίθμους, οι οποίοι στηρίζονται στη βελτιστοποίηση μιας σειράς «τυπικών» προσεγγίσεων της (ψευδο)αντικειμενικής συνάρτησης και οδηγούν συχνότατα σε ατυχείς εκτιμήσεις της θέσης του βέλτιστου, όταν οι τυπικές μαθηματικές εκφράσεις που χρησιμοποιούνται δεν κατορθώνουν να ανιχνεύσουν (να αποτυπώσουν) με ικανοποιητική ακρίβεια τη γενικότερη ή/και τις ειδικότερες διαμορφώσεις της (ψευδο)αντικειμενικής συνάρτησης. Τα εν λόγω προβλήματα εμφανίζουν κατά κανόνα πολλά τοπικά ελάχιστα και οι αναλυτικοί αλγόριθμοι συγκλίνουν τις περισσότερες φορές προς κάποιο από τα πλησιέστερα προς το σημείο εκκίνησης, τοπικό βέλτιστο. Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής σχεδιάστηκε και αναπτύχθηκε ένας νέος αλγόριθμος βελτιστοποίησης, έχοντας ως αφετηρία τις ιδιαίτερες απαιτήσεις των προβλημάτων παραμετρικής βελτιστοποίησης της απόκρισης μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων, όπως αυτά των εύκαμπτων βραχιόνων. Ονομάστηκε αλγόριθμος S.Q.A και βασίζεται στο ντετερμινιστικό μοντέλο της S.Q.A (Smoothed Quadratic Approximation) βοηθητικής συνάρτησης, η οποία μπορεί να αξιοποιεί απεριόριστο όγκο πληροφοριών. Παράλληλα, η χρησιμοποιούμενη βοηθητική συνάρτηση δεν δεσμεύεται από τις κατά τόπους διαμορφώσεις της αντικειμενικής συνάρτησης. Με τον τρόπο αυτό κατορθώνει την ίδια στιγμή να συνδυάζει σε σημαντικό βαθμό, από τη μία πλευρά τα κυριότερα πλεονεκτήματα των ντετερμινιστικών αλγορίθμων (γρήγορος και ακριβής εντοπισμός κάποιου ελαχίστου) και από την άλλη πλευρά τα πλεονεκτήματα των (ημι)στοχαστικών αλγορίθμων (ικανότητα απεγκλωβισμού από τα τοπικά ελάχιστα). Η S.Q.A βοηθητική συνάρτηση αποτελεί στην πραγματικότητα τη συρραφή μιας σειράς ομαλοποιημένων τετραγωνικών προσεγγίσεων της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι προσεγγίσεις αυτές, οι οποίες περιγράφονται αναλυτικά στο τρίτο κεφάλαιο της διατριβής, διαμορφώνονται εις τρόπον ώστε να εξασφαλίζεται η ύπαρξη και η συνέχεια των πρώτων και των δεύτερων μερικών παραγώγων της βοηθητικής συνάρτησης, ακόμη και όταν η αντικειμενική συνάρτηση είναι ασυνεχής και με δεδομένο ότι από την ανάλυση αντλούνται πληροφορίες μηδενικής τάξης και μόνο αυτές. Η σχηματοποίηση των ομαλοποιημένων τετραγωνικών προσεγγίσεων γίνεται πάντοτε με αναφορά σε ένα συγκεκριμένο σημείο αφετηρίας του πεδίου ορισμού της αντικειμενικής συνάρτησης και έχει θεωρητικά απεριόριστη δυνατότητα ενσωμάτωσης των διαθέσιμων πληροφοριών (των τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης που προέρχονται από προηγούμενες, επιτυχείς ή μη, εκτιμήσεις του βέλτιστου). Κάθε διαθέσιμη πληροφορία (κάθε υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ενός αναλυμένου σημείου) μπορεί να αξιοποιείται (να ενεργοποιείται) σε οποιαδήποτε επόμενη επανάληψη του αλγορίθμου και σε οποιοδήποτε στάδιο της εσωτερικής βελτιστοποίησης. Κατά την εφαρμογή του S.Q.A αλγόριθμου, διαπιστώθηκε ότι η αποτελεσματικότητά του συνδέεται άμεσα με την ποιότητα αποτύπωσης της αντικειμενικής συνάρτησης, που με τη σειρά της εξαρτάται από το πλήθος και την κατανομή των διαθέσιμων πληροφοριών (των αναλυμένων σημείων), από το πλήθος και το τρόπο επιλογής των πληροφοριών που ενσωματώνονται σε μία ομαλοποιημένη τετραγωνική προσέγγιση, από το νόμο υπολογισμού του βαθμού συμμετοχής των διαφορετικών σημείων και από μια σειρά άλλων επιλογών οι οποίες αναλύονται στη συνέχεια. Η διατριβή περιλαμβάνει συνολικά οκτώ (8) κεφάλαια: • Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζεται το υφιστάμενο πλαίσιο επίλυσης των προβλημάτων βελτιστοποίηση απόκρισης, σε συνδυασμό με τις δυνατότητες που παρέχουν οι υφιστάμενοι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης και οι τεχνικές σχηματισμού ενδιάμεσων προβλημάτων παραμετρικής βελτιστοποίησης. Στη συνέχεια, τίθενται οι κύριοι, οι επιμέρους (δευτερεύοντες) και οι λειτουργικοί στόχοι της διατριβής. • Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται η βηματική διαδικασία σχηματισμού της βοηθητικής συνάρτησης S.Q.A και αποδεικνύονται όλες οι βασικές της ιδιότητες (ύπαρξη και συνέχεια των μερικών παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης). Παρατίθεται επίσης σειρά αριθμητικών δεδομένων και γραφικών αναπαραστάσεων της αποτύπωσης δύο χαρακτηριστικών αντικειμενικών συναρτήσεων μίας και δύο μεταβλητών απόφασης, αντίστοιχα. • Στο τρίτο κεφάλαιο της διατριβής παρατίθεται το γενικότερο πλαίσιο εφαρμογής των μεθοδολογιών βελτιστοποίησης δεύτερης τάξης και εν συνεχεία περιγράφεται η δομή της βασικής έκδοσης του προτεινόμενου αλγόριθμου. Ειδικότερα αναλύονται οι σημαντικότερες εναλλακτικές επιλογές, οι οποίες αφορούν στην δυνατότητα προσαρμογή της λειτουργίας του αλγόριθμου S.Q.A στις τρέχουσες ιδιαιτερότητες του προβλήματος βελτιστοποίησης ή σε κάποιο συγκεκριμένο στάδιο της επίλυσής του. Στη συνέχεια εξετάζονται οι δυνατότητες τροποποίησης του αλγόριθμου S.Q.A, εις τρόπον ώστε να αξιοποιούνται και πληροφορίες που αφορούν στις συνιστώσες του διανύσματος κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης, όταν αυτές διατίθενται από την ανάλυση του προβλήματος. Στην τελευταία ενότητα του ίδιου κεφαλαίου προτείνεται μία παράλληλη έκδοση του αλγορίθμου S.Q.A, η οποία είναι αρκετά απλή, από προγραμματιστικής απόψεως, και ιδιαίτερα χρήσιμη για την αντιμετώπιση προβλημάτων με σχετικά μεγάλο αριθμό μεταβλητών απόφασης και υψηλό υπολογιστικό κόστος ανάλυσης. • Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής του αλγόριθμου S.Q.A για μια σειρά τυπικών προβλημάτων με ένα ή περισσότερα τοπικά ελάχιστα και με διαφορετικό πλήθος μεταβλητών απόφασης. • Στο πέμπτο κεφάλαιο βελτιστοποιείται η απόκριση ενός μη-γραμμικού μοντέλου μισού αυτοκινήτου, όταν αυτό περνάει με σταθερή ταχύτητα από ένα εμπόδιο σταθερής κλίσης, καθώς και από ένα εμπόδιο ημιτονοειδούς μορφής. Ως αποκλειστικό κριτήριο καλύτερης απόκρισης τίθεται αυτό της άνεσης (της ελάχιστης απόλυτης επιτάχυνσης του κέντρου βάρους του οχήματος). Και για τις δύο περιπτώσεις βέλτιστης απόκρισης παρατίθεται πλήρης σειρά διαγραμμάτων μεταβολής των σημαντικότερων χρονικών συναρτήσεων μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης. • Στο έκτο κεφάλαιο σχηματίζεται ένα πρόβλημα παραμετρικής βελτιστοποίησης, το οποίο ισοδυναμεί με ένα κλασικό πρόβλημα βέλτιστης οδήγησης διακριτών χρόνων. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα εφαρμογής του αλγόριθμου S.Q.A. • Στο έβδομο κεφάλαιο επιλέγεται ο συνδυασμός των συντελεστών ενός μη-γραμμικού συστήματος ελέγχου, ο οποίος βελτιστοποιεί την απόκριση ενός ιδιαίτερα εύκαμπτου ρομποτικού βραχίονα, για ένα σημαντικό εύρος φερόμενων μαζών και για μια σειρά διαδοχικών εντολών κίνησης. Αρχικά παρουσιάζονται συνοπτικά τα αποτελέσματα της έρευνας του πεδίου των εύκαμπτων ρομποτικών βραχιόνων, η οποία εστιάζεται στις δημοφιλέστερες μεθοδολογίες προσομοίωσης της δυναμικής τους συμπεριφοράς, στα χρησιμοποιούμενα συστήματα ελέγχου και στις τεχνικές μέτρησης της απόκρισής τους, σε πραγματικό χρόνο. Τέλος, παρατίθεται πλήρης σειρά διαγραμμάτων των χρονικών συναρτήσεων της απόκρισης, του τελικού και των ενδιάμεσων σημάτων του συστήματος ελέγχου. • Στο όγδοο κεφάλαιο της διατριβής βελτιστοποιείται η απόκριση τροχιάς της απόληξης ενός μη-γραμμικού δυναμικού συστήματος δύο αρθρωμένων εύκαμπτων βραχιόνων, για ένα σημαντικό εύρος φερόμενων μαζών. Για την προσομοίωση της δυναμικής συμπεριφοράς του ζεύγους των βραχιόνων, όλες οι εξισώσεις κίνησης μεταφέρονται στο Σύστημα Συντεταγμένων Φανταστικών Βραχιόνων (Σ.Σ.Φ.Β), όπου απλοποιούνται σε πολύ μεγάλο βαθμό. Και σε αυτή την περίπτωση παρατίθεται μία πλήρης σειρά διαγραμμάτων που περιγράφουν τις συνιστώσες της απόκρισης του δυναμικού συστήματος, καθώς και των ασκούμενων ροπών. • Στο ένατο κεφάλαιο αξιολογείται ο βαθμός πλήρωσης των κύριων, των επιμέρους και των λειτουργικών στόχων της διατριβής, όπως αυτοί ορίστηκαν στο εισαγωγικό κεφάλαιο της διατριβής. Τέλος, διατυπώνεται μία σειρά προτάσεων, που αφορά στην διερεύνηση του πεδίου εφαρμογής του αλγόριθμου S.Q.A, καθώς και στις προοπτικές περαιτέρω εξέλιξης του.