ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Abstract

THE "SMOOTH" SOLUTIONS OF LINEAR HOMOGENEOUS MATRIX DIFFERENTIAL EQUATIONS (WHICH CORRESPOND TO MULTIVARIABLE SYSTEMS) OR EQUIVALENTLY THE FREE-RESPONSE OF THE SYSTEM (I.E. WHEN THERE IS NO INPUT) CONSISTING OF COMBINATIONS OF EXPONENTIAL MOTIONS HAVE BEEN WELL STUDIED OVER THE PAST DECADES. ONE OF THE CONTRIBUTIONS OF THIS THESIS IS THAT IT PRESENTS A NEW APPROACH OF FINDING THE SMOOTH SOLUTIONS OF THE LINEAR HOMOGENEOUS MATRIX DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE NOTION OF JORDAN CHAINS FROM THE OPERATOR THEORY. WE ALSO PRESENT A NEW SOLUTION FOR THE INITIAL VALUE PROBLEM AND WE FIND THE COMPATIBILITY CONDITIONS (CONSTRAINTS) THAT THE SYSTEMS' PSEUDO STATES MUST SATISFY IN ORDER THAT THE SOLUTIONS OF THESYSTEM EXIST. POSSIBLY THE MOST IMPORTANT CONTRIBUTION OF THIS THESIS IS PRESENTED IN CHAPTER 4. IN THE FIRST PART OF THIS CHAPTER WE GIVE A CLOSED FORMULA FOR THE SOLUTION OF THE HOMOGENEOUS MATRIX DIFFERENTIAL EQUATION Α(Ρ)Β(Τ)=0 IN TERMS OF FINITE AND INFINITE JORDAN PAIRS OF A(S). IN THE SECOND PART OF THE CHAPTER THE IMPULSIVE SOLUTIONS OF THE EQUATION A(Ρ)Β(Τ)=0 ARE RE-EXAMINED IN THE LIGHT OF THE THEORY OF JORDAN CHAINS THAT CORRESPOND TO INFINITE ELEMENTARY DIVISORS OF THE MATRIX A(S). INFINITE ELEMENTARY DIVISORS OF GENERAL POLYNOMIAL MATRICES IS EXAMINED. IT IS SHOWN THAT IMPULSIVE SOLUTIONS ARE DUE TO JORDAN CHAINS OF A "DUAL" POLYNOMIAL MATRIX THAT CORRESPOND TO INFINITE ELEMENTARY DIVISORS THAT ARE ASSOCIATED WITH THE ORDERS OF "ZEROS AT INFINITY" OF THE ORIGINAL MATRIX. ANOTHER CONTRIBUTION OF THIS THESIS IS THE PRESENTATION IN CHAPTER 5 OF THE REALIZATION THEORY FOR RATIONAL MATRICES USING THE NOTIONS OF FINITE AND INFINITE JORDAN PAIRS. THAT IS, GIVEN THE FINITE AND THE INFINITE JORDAN PAIR OF APOLYNOMIAL MATRIX A(S) WE FIND A MINIMAL REALIZATION FOR ITS INVERSE A-1(S) WHICH IN GENERAL IS A RATIONAL MATRIX. FINALLY ONE OF THE MAIN CONTRIBUTIONS OF THIS THESIS IS ITS TREATMENT OF THE REACHABILITY PROPERTIES OF POLYNOMIAL MATRIXDESCRIPTIONS (PMD'S) USING TIME DOMAIN ANALYSIS IN CHAPTER 7. THERE, AFTER THEEXTENSION OF THE THEORY PRESENTED IN CH. 6 (REGARDING THE REACHABILITY PROPERTIES OF GENERALIZED STATE SPACE SYSTEMS) IN A WAY TO COVER THE MORE GENERAL CASEOF PMD'S, WE PRESENT THE RELATION BETWEEN DECOUPLING ZEROS AT INFINITY OF PMD'S AND THE LAURENT EXPANSION OF THE CORRESPONDING TRANSFER FUNCTION MATRIX.

ΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥΝ ΣΕ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Η ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ Η ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΕΞΕΤΑΣΘΕΙ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΗΘΕΙ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΤΙΚΑ ΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ. ΜΙΑ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΙΑ ΝΕΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΑΛΥΣΙΔΩΝ JORDAN ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ. ΑΚΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ Η ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΞΟΥΝ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. ΜΙΑ ΑΚΟΜΗ ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥΔΙΝΕΤΑΙ ΕΝΑΣ ΚΛΕΙΣΤΟΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΙΝΑΚΕΣ Α(Ρ)Β(Τ)=0 ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΤΟΣΟ ΜΕ ΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΖΕΥΓΗ JORDAN ΟΣΟ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΖΕΥΓΗ JORDAN ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ A(S). ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΟΙ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Α(Ρ)Β(Τ)=0 ΕΠΑΝΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΑΛΥΣΙΔΩΝ JORDAN ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥΝ ΣΕ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ A(S). ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΓΕΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΞΕΤΑΖΕΤΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΗΝ ΔΟΜΗ ΠΟΛΩΝ-ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ. ΑΚΟΜΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΟΙ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΟΦΕΙΛΟΝΤΑΙ ΣΕ ΑΛΥΣΙΔΕΣ JORDAN ΤΟΥ "ΔΥΤΙΚΟΥ" ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΠΟΥΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΟΥΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΞΗ ΤΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΤΟΥ ΑΡΧΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΩΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΖΕΥΓΩΝ JORDAN ΚΑΙ ΖΕΥΓΩΝ JORDAN ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ. ΔΗΛΑΔΗ, ΜΕΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΣΟ ΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΖΕΥΓΗ ΟΣΟ ΚΑΙ ΤΑ ΖΕΥΓΗ JORDAN ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ A(S) ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΜΙΑ "ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΠΡΑΓΜΑΤΩΣΗ" ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΤΟΥ Α-1(S), Ο ΟΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ ΓΕΝΙΚΑ ΕΝΑΣ ΡΗΤΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ. ΤΕΛΟΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΙΝΕΤΑΙ ΗΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΕΦΙΚΤΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ (Π.Π.Π.) ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. ΕΚΕΙ, ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΤΗΚΕ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 (ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣΤΗΣ ΕΦΙΚΤΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΙΔΙΟΜΟΡΦΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ) ΜΕ ΤΕΤΟΙΟ ΤΡΟΠΟ ΩΣΤΕ ΝΑ ΚΑΛΥΦΘΕΙ Η ΠΙΟ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ (Π.Π.Π.), ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΤΩΝ Π.Π.Π. ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΤΑ LAURENT ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ.