Μελέτη μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής με τη βοήθεια τανυστών καμπυλότητας

Abstract

A contact manifold is a C? ? manifold M2n+1 equipped with a global 1? form η , called the contact form, such that ? ( ) ? 0 n η dη everywhere on M2n+1. The study of contact manifolds, from a global point of view, has been developed in the last 50 years, starting from the work of G.Reeb on properties of the trajectories of dynamical systems. The contact structures find applications in analytic mechanics and in the quantization theory of B.Kostant and J.-M.Souriau. S.Sasaki introduced a natural metric assosiated to a contact structure. The set of assosiated metrics to η is of infinite dimension. In this thesis we classify two subclasses of contact metric manifolds. In the first chapter the definitions and the basic properties of conceptions which appear in the study are refered. In the second chapter we study conformally flat contact metric manifolds M2n+1(? ,ξ ,η , g) (n > 1) with ## = ?k? 2 , (## := R(?,ξ )ξ ), where k is a smooth function on M2n+1. We prove that these manifolds are Sasakian of constant curvature 1. In the third chapter we study conformally flat contact metric manifolds M2n+1(? ,ξ ,η , g) (n > 1) withQξ = ρξ , where ρ is a smooth function on M2n+1. We prove that these manifolds are Sasakian of constant curvature 1.

Μία πολλαπλότητα επαφής είναι μία C? ? πολλαπλότητα M2n+1, η οποία φέρει μία ολικά ορισμένη 1? μορφή η τέτοια, ώστε ? ( )n ? 0 η dη παντού στη M2n+1. Η μελέτη των πολλαπλοτήτων επαφής από ολική άποψη αναπτύχθηκε τα τελευταία 50 χρόνια ξεκινώντας από την εργασία του G.Reeb επί των ιδιοτήτων των τροχιών των δυναμικών συστημάτων. Οι δομές επαφής έχουν εφαρμογές στην αναλυτική μηχανική και τη θεωρία κβαντοποίησης των B.Kostant και J.-M.Souriau. Πρώτος ο S.Sasaki εισήγαγε με φυσικό τρόπο μία μετρική προσαρτημένη στη δομή επαφής. Ο χώρος των μετρικών των προσαρτημένων στη μορφή επαφής η είναι άπειρης διάστασης. Στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με την ταξινόμηση δύο υποκλάσεων των μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι ορισμοί και οι βασικές ιδιότητες των μαθηματικών εννοιών που εμφανίζονται στη μελέτη. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετώνται σύμμορφα επίπεδες μετρικές πολλαπλότητες επαφής M2n+1(? ,ξ ,η , g) (n > 1) με τη συνθήκη ## = ?k? 2 , (## := R(?,ξ )ξ), όπου η k είναι μία λεία συνάρτηση επί της M2n+1 και αποδεικνύεται ότι είναι πολλαπλότητες Sasaki σταθερής καμπυλότητας 1. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετώνται σύμμορφα επίπεδες μετρικές πολλαπλότητες επαφής M2n+1(? ,ξ ,η , g) (n > 1) με τη συνθήκη Qξ = ρξ , όπου η ρ είναι μία λεία συνάρτηση επί της M2n+1 και αποδεικνύεται ότι είναι πολλαπλότητες Sasaki σταθερής καμπυλότητας 1.