Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων με χρήση ειδικών μεθόδων

Abstract

In the present thesis we examine systems of first-order ordinary differential equations with oscillating solutions which are integrated numerically. For their solution we use explicit Runge-Kutta methods that integrate exactly a set of special functions. The thesis consists of two main parts. In the first part we work on the properties of phase-lag and dissipation. At first we construct a family of methods with fifth algebraic order and constant or variable coefficients with maximized or infinite order of phase-lag respectively. We test these methods along with a group of classical methods in five known problems with oscillating solutions. Afterwards we construct a method with fifth algebraic order, infinite order of phase-lag and infinite order of dissipation and compare it with other methods during the integration of three known orbital problems. In the second part we study the radial one-dimensional time-independent Schrodinger equation and construct two families of exponentially-fitted methods for its integration. The first family consists of two methods with fifth algebraic order and first and second exponential order, while the second consists of three methods with sixth algebraic order and first, second and third exponential order. After the analysis of the local truncation error of all methods we stress the critical role of the maximum exponent of energy in the error. We note the increase of the efficiency of the exponentially-fitted methods in comparison to the classical ones and especially when using high values of energy.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή εξετάζουμε συστήματα πρωτοβάθμιων συνήθων διαφορικών εξισώσεων με λύση ταλαντωτικής μορφής, τα οποία ολοκληρώνουμε αριθμητικά. Για την επίλυσή τους χρησιμοποιούμε άμεσες μεθόδους Runge-Kutta που ολοκληρώνουν ακριβώς ένα σύνολο από ειδικές συναρτήσεις. Η διατριβή αποτελείται από δύο βασικά μέρη. Στο πρώτο μέρος ασχολούμαστε με τις ιδιότητες της υστέρησης φάσης και της απώλειας. Αρχικά παράγουμε μια οικογένεια μεθόδων πέμπτης αλγεβρικής τάξης με σταθερούς ή μεταβλητούς συντελεστές που έχουν αντίστοιχα μεγιστοποιημένη ή άπειρη τάξη υστέρησης φάσης. Τις μεθόδους αυτές μαζί με μια ομάδα κλασικών μεθόδων τις δοκιμάζουμε σε πέντε γνωστά προβλήματα με ταλαντωτική λύση. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε μια μέθοδο με πέμπτη αλγεβρική τάξη, άπειρη τάξη υστέρησης φάσης και άπειρη τάξη απώλειας την οποία συγκρίνουμε με άλλες μεθόδους κατά την ολοκλήρωση τριών γνωστών τροχιακών προβλημάτων. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής μελετούμε την ανεξάρτητη του χρόνου μονοδιάστατη ακτινική εξίσωση Schrodinger και κατασκευάζουμε δύο οικογένειες εκθετικά προσαρμοσμένων μεθόδων για την ολοκλήρωσή της. Η πρώτη οικογένεια αποτελείται από δύο μεθόδους πέμπτης αλγεβρικής τάξης και πρώτης και δεύτερης εκθετικής, ενώ η δεύτερη οικογένεια αποτελείται από τρεις μεθόδους έκτης αλγεβρικής τάξης και πρώτης, δεύτερης και τρίτης εκθετικής. Μετά από ανάλυση του τοπικού σφάλματος αποκοπής όλων των μεθόδων επισημαίνουμε τον κρίσιμο ρόλο που παίζει ο μέγιστος εκθέτης της ενέργειας στο σφάλμα. Παρατηρούμε την αύξηση της αποδοτικότητας των εκθετικά προσαρμοσμένων μεθόδων σε σχέση με τις κλασικές και ειδικά για μεγάλες τιμές της ενέργειας.