ΕΠΑΓΩΜΕΝΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΧΥΡΩΝ G-ΒΑΘΜΩΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΩΝ

Abstract

Η ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΑΓΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΕΧΕΙ ΠΕΡΙΓΡΑΨΕΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΗ ΑΝΑΛΥΣΙΜΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΗΣ ΣΗΜΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΜΑΔΩΝ. Η ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΥΤΗΣ ΣΕ G-ΒΑ ΘΜΩΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ ΟΦΕΙΛΕΤΑΙ ΣΤΟΝ E. DADE. ΠΡΟΣ ΑΥΤΗΝ ΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΚΙΝΕΙΤΑΙ ΚΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ, ΕΣΤΩ Λ =+Λ6 ΜΙΑ ΙΣΧΥΡΑ G-ΒΑΘΜΩΤΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΟΠΟΥ G ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗ ΟΜΑΔΑ ΚΑΙ Η ΜΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΥΠΟΟΜΑΔΑ ΤΗΣ G. ΚΑΤ' ΑΡΧΗΝ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ Η-ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ Λ ΚΑΙ ΜΕ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΕΝΙΚΕΥΟΥΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΤΑΥΡΩΤΩΝ ΓΙΝΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΙΣΧΥΡΑ G-ΒΑΘΜΩΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΩΝ. ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΠΑΓΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Λ- ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΜΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΥΠΟΟΜΑΔΑ Η ΤΗΣ G ΣΕ ΜΗ ΑΝΑΛΥΣΙΜΑ, ΟΤΑΝ Ο ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ Λ ΕΙΝΑΙ ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ ΤΟΥ ARTIN Η ΠΛΗΡΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΣ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΟΤΑΝ Ο Λ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΥΡΩΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΤΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΕΠΑΓΟΜΕΝΩΝ Λ-ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ Η ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ * ΚΑΙ HOM ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΟΥΜΕ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΔΑ ΚΤΥΛΙΩΝ ΟΜΑΔΩΝ, ΕΠΑΝΕΡΧΟΜΕΝΟΙ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΙΑΣ ΙΣΧΥΡΑ G-ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ, ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΤΑ ΠΡΟΒΟΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΜΒΟΛΙΚΑ Λ-MODULES ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΙΚΩΝ ΚΑΛΥΨΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΕΜΒΟΛΙΚΩΝ ΘΗΚΩΝ Λ-MODULES ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ ΑΠΟ ΜΙΑ ΥΠΟ ΟΜΑΔΑ Η ΤΗΣ G. ΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΑΥΤΑ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ AUSLANDER-REITEN ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Λ-MODULES, ΟΤΑΝ Ο Λ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΥΡΩΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ ΤΟΥ ARTIN. ΤΕΛΟΣ, ΔΙΔΟΝΤΑΙ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ ΟΙ AUSLANDER-REITEN ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΝΑ ΔΙΑΤΗΡΟΥΝ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥΣ ΑΥΤ Η ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ ΠΑΝΤΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΥΠΟΟΜΑΔΑ Η ΤΗ

THE THEORY OF INDUCED REPRESENTATIONS OF FINITE GROUPS DESCRIBES IMPORTANT PROPERTIES OF THE INDECOMPOSABLE REPRESENTATIONS AND HAS PROVED OF LARGE IMPORTANCE FOR THE STUDY OF THE REPRESENATION THEORY OF FINITE GROUPS THIS DISSERTATION. THE GENERALIZATION OF THIS THEORY TO G-GRADED ALGEBRAS IS DUE TO E. DADE.THIS DISSERTATION FOLLOWS THIS DIRECTION OF THE RESEARCH. LET Λ=+Λ6 BE A STRONGLY G-GRADED ALGEBRA, WHERE G IS A FINITE GROUP AND H A NORMAL UBGROUP OF G. FIRSTLY WE EXAMINE THE H-PROJECTIVITY OF Λ AND WITH THE HELP OF A SUITABLE CONDITION WE GENERALIZE KNOWN RESULTS ON CROSSED PRODUCTS AND STRONGLY G-GRADED ALGEBRAS. IN THE SEQUEL WE EXAMINE THE DECOMPOSITION OF THE INDUCED Λ-REPRESENTATIONS AND THE RESTRICTION OF Λ-REPRESENTATIONS FOR H INTO INDECOMPO SABLES WHERE Λ IS AN ARTIN RING OR A COMPLETE DISCRETE VALUATION RING. ESPECIALLY IF Λ IS A CROSSED PRODUCT WE STUDY THE BEHAVIOR OF THE INDUCED Λ-REPRESENTATIONS FROM H RELEVAND TO THE OPERATIONS * AND HOM WITH RESULT THE GENERALIZATION OF KNOWN RESULTS O N GROUP RINGS. WE COME BACK TO THE CASE OF A STRONGLY G-GRADEDALGEBRA Λ AND WE STUDY THE PROJECTIVE AND INJECTIVE Λ-MODULES AND THE PROJECTIVE COVERS AND INJECTIVE HULLS OF Λ-MODULES RELEVAND TO THE INDUCTION AND RESTRICTION. FINALLY WE APPLY THE ABOVE RE SULTS IN THE STUDY OF AUSLANDER-REITENSEQUENCES OVER Λ, WHERE Λ IS AN ARTIN CROSSED PRODUCT. MOREOVER WE PROVE CONDITIONS UNDER WHICH THE AUSLANDER-REITEN SEQUENCES KEEP THIS PROPERTY UNDER INDUCTION AND RESTRICTION FOR A SUBGROUP H OF G.