ΣΜΗΝΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Ε3 ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΜΗΝΩΝ

Abstract

THIS DISSERTATION IS DEVOTED TO A STUDY OF RECTILINEAR CONGRUENCES IN THE THREEDIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE E3. CHAPTER I CONTAINS SOME BASIC ELEMENTS OF THE CONGRUENCE THEORY. CHAPTER II INCLUDES MAINLY AN INVESTIGATION OF EXISTENCE PROBLEMS OF CONGRUENCES, WHICH HAVE A COMMON MIDDLE ENVELOPE WITH A GIVEN CONGRUENCE SO. MOREOVER, SUCH A PROBLEM OF CONGRUENCES WITH A GIVEN LIMIT DISTANCE IS STUDIED. IN CHAPTER III IT IS PROVED THAT THE SET Π(SO), OF CONGRUENCES THAT HAVE A COMMON MIDDLE ENVELOPE WITH A GIVEN CONGRUENCE SO, SUPPLIED WITH TWO PROPERLY DEFINED ACTIONS, IS A REAL INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACE. SOME PROPERTIES OF Π(SO) AND ITS SUBSPACES ARE ALSO STUDIED. CHAPTER IV CONCERNS SOME NEW INTEGRAL FORMULAE FOR HYPERBOLIC CONGRUENCES . BY USING THESE FORMULAE WE FIND PROPERTIES OF SPECIAL CONGRUENCES, SUCH AS, FOR EXAMPLE, A NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITION FOR A CONGRUENCE TO BE W-CONGRUENCE. WE END WITH A SHORT STUDY OF CONGRUENCES WITH AN AREA PERSERVING MAPPING BETWEEN THEIR MIDDLE ENVELOPE AND THEIR MIDDLE OR LIMIT SURFACE.

ΣΤΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΥΤΗ ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΣΜΗΝΗ ΕΥΘΕΙΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ Ε3. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΠΑΡΑΘΕΤΟΥΜΕ ΓΝΩΣΤΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΤΥΠΟΥΣ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΜΗΝΩΝ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ, ΜΕ ΕΞΑΙΡΕΣΗ ΜΙΑ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ, ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΣΜΗΝΩΝΔΙΝΕΤΑΙ Η ΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ, ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΣΜΗΝΩΝ,ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΜΕ ΔΟΘΕΝ ΣΜΗΝΟΣ SO ΚΟΙΝΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ. ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ Π(SO) ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΣΜΗΝΩΝ, ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΚΟΙΝΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΜΕ ΤΟ ΔΟΘΕΝ ΣΜΗΝΟΣ SO. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΤΟ Π(SO), MAZI ΜΕ ΔΥΟ ΚΑΤΑΛΛΗΛΑ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ, ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΔΙΑΣΤΑΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΥΣ ΤΟΥ. ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙV ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΓΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΣΜΗΝΗ. ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΥΠΩΝ ΑΥΤΩΝ, ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΙΔΙΚΩΝ ΣΜΗΝΩΝ, ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΜΙΑ ΙΚΑΝΗ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ ΓΙΑ W-ΣΜΗΝΗ. ΕΠΙΣΗΣ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΙΑΣΥΝΤΟΜΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΕ ΣΜΗΝΗ, ΠΟΥ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΟΥΝ ΙΣΕΜΒΑΔΙΚΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΕΠΙΤΗ ΜΕΣΗ 'Η ΟΡΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΑΥΤΩΝ.