ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ MONGE-AMPERE

Abstract

THE SUBJECT WE ARE DEALING WITH CAN BE DIVIDED AS FOLLOWS: A) POSSIBILITY OF STOCHASTIC REPRESENTATION OF THE GENERALISED SOLUTION OF THE REAL MONGE-AMPERE EQUATION MU=F>0 K D, K=Φ ON ΘD, D C IRD OPEN-BOUNDED CONVEX. PARTLY IN PARALLEL TO THE WORK BY B. GAVEAN, WHO TREATED THE COMPLEX CASE, GENERAL RESULTS ARE OBTAINED. SPECIFICALLY THE SOLUTION CAN BE STOCHASTICALLY REPRESENTED IF O<F E L (D), Φ E C (ΘD), D C IRD STRICTLY CONVEX (ΘD NOT NECESSARILLY SMOOTH). PARTICULARLY IF Φ=0 A BARRIER CONDITION ON ΘD IS SUFFICIENT. IN THIS CONTEXT A SIMPLIFIEDPROOF OF KRYLER'S INEQUALITY IS OBTAINED. B) PROBABILISTIC DEMONSTRATION OF THE EXISTENCE OF THE SOLUTION OF THE MONGE- AMPERE EQUATION (IN THE GENERALISED SENSE) OPTIMAL STOCHASTIC CONTROL TECHNIQUES IN CONJUNCTION WITH A STOCHASTIC VERSION OF IDEAS DEVELOPED BY P.L. LIONS CAN ASSURE A PURELY PROBABILISTIC DEMONSTRATION OF EXISTENCE OF THE SOLUTION. THE METHOD AFTER MINOR CHANGES, CAN ALSO APPLY TO THE COMPLEX CASE. AN E-OPTIMAL CONTROL CAN BE REALISED FOR THE ASSOCIATED STOCHASTIC PROBLEM WHEN FE LP (D), P>D.

ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΣΥΝΙΣΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ: Α) ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ MONGE-AMPERE MU=F>0 ΣΤΟ D, Κ=Φ ΣΤΟ ΘD, DC IRD ΑΝΟΙΚΤΟ ΚΥΡΤΟ, ΦΡΑΓΜΕΝΟ. ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΣ ΕΝ ΜΕΡΕΙ ΜΕ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ B . GOVEAN ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗΝ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ MONGE-AMPERE, ΔΙΑΤΥΠΩΝΟΝΤΑΙ ΓΕΝΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΗΣΛΥΣΗΣ. ΕΙΔΙΚΩΤΕΡΑ: Η ΛΥΣΗ Κ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΘΕΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΟΤΑΝ 0 <F E L (D), ΦΕ C(OD), DCIRD ΑΥΣΤΗΡΑ ΚΥΡΤΟ (ΘD ΟΧΙ ΚΑΤ'ΑΝΑΓΚΗ ΛΕΙΟ). ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΑΝ Φ=0 ΜΙΑ BARRIER CONDITION Σ ΕΙΝΑΙ ΑΡΚΕΤΗ. Σ'ΑΥΤΑ ΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΙΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗΤΗΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ KRYLOV ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΠΙΤΕΥΧΘΕΙ. Β) ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ MONGE-AMPERE. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΜΕ ΤΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΕΚΔΟΧΗ ΙΔΕΩΝ ΤΟΥ P.L. LIONS, ΕΞΑΣΦΑΛΙΖΟΥΝ ΜΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΛΥΣΗΣ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ,ΜΕ ΜΙΚΡΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ, ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ MONGE-AMPERE. ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΥΤΗ, ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΕΙ ΕΝΑΣ Ε-ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΤΟΠΡΟΚΥΠΤΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΤΑΝ FE LP(D), P>D.