ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΤΟΥ KILLING ΕΠΙ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ RIEMANN

Abstract

Η ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΤΑΝΥΣΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΤΟΥ KILLING ΣΤΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ RIEMANN ΑΝΑΠΤΥΧΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΟΥΣ S. BOCHEZER, A. LICHNEROWICZ, K. YANO ΚΑΙ ΑΛΛΟΥΣ. ΑΥΤΟΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΕΚΦΡΑΣΑΝΕ ΤΗΝ ΜΗ ΥΠΑΡΞΕΩΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ 'Η ΤΑΝΥΣΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΤΟΥ KILLING ΤΑΞΕΩΣ P, (P>1), ΣΕ ΜΙΑ ΣΥΜΠΑΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ RIEMANN M, ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΣ Ν. ΣΗΜΕΙΩΝΟΝΤΑΣ ΜΕ HP(M,IR) ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΤΑΞΕΩΣ Ρ ΚΑΙ ΜΕ KR(M, IR) ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΧΩΡΟ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΤΑΝΥΣΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ΤΟΥ KILLING ΤΑΞΕΩΣ Ρ ΤΗΣ Μ, (R ΕΙΝΑΙΤΟ ΣΩΜΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ) ΒΕΛΤΙΩΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΤΣΙ ΩΣΤΕ Η ΔΙΑΣΤΑΣΗ DIMHP(M, IR) # DIMKP(M, IR) ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΠΡΟΣ ΕΝΑ ΔΟΣΜΕΝΟ ΑΚΕΡΑΙΟ ΑΡΙΘΜΟ Κ. ΤΕΛΟΣ ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΤΙΣ ΤΟΠΙΚΑ ΔΙΑΧΩΡΙΣΙΜΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ RIEMANN ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ MN=M'K X M'' N-K (4 < 2K < N), ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ ΣΤΙΣ ΣΧΕΔΟΝ ΣΤΑΘΕΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ RIEMANN ΚΑΘΩΣ ΕΠΙΣΗΣ ΚΑΙ ΣΕ ΣΧΕΔΟΝ ΣΤΑΘΕΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ RIEMANNΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ Η ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ Μ'Κ ΕΙΝΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΣ.

THE STUDY OF HARMONIC FORMS AND KILLING TENSOR FIELDS IN RIEMANNIAN MANIFOLDS HAS BEEN DEVELOPED BY S. BOCHNER, A. LICHNEROWICZ, K. YANO AND OTHERS. THEY, AMONG OTHERS, EXPRESSED THE CONDITION FOR NONEXISTENCE OF NON-ZERO HARMONIC P FORM OR KILLING TENSOR FIELD OF ORDER P (P >1), IN A COMPACT ORIENTABLE RIEMANNIAN MANIFOLD M, OF DIMENSION N. DENOTING BY HP (M, IR) THE VECTOR SPACE OF ALLHARMONIC P-FORMS AND BY KP (M, IR) THE VECTOR SPACE OF ALL KILLING TENSOR FIELDS OF ORDER P IN M, (IR, IS THE FIELD OF REAL NUMBERS), WE IMPROVE THEIR CONDITION SO THAT DIMHP(M, IR) OR DIM KP (M, IR) TO BE EQUAL TO A GIVEN INTEGER K.FINALLY WE APPLY OUR RESULTS IN LOCALLY DECOMPOSABLE RIEMANNIAN MANIFOLDS OF THE FORM MN=M'K X M''N-K (4 < 2K < N), AND ESPECIALLY TO RIEMANNIAN MANIFOLDS OF ALMOST CONSTANT CURVATURE, AS WELL AS TO RIEMANNIAN MANIFOLDS OF ALMOST CONSTANT CURVATURE WITH THE CONDITION THAT M'K IS A FLAT RIEMANNIAN MANIFOLD.