ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΑΓΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΗΜΙΟΜΟΙΟΜΟΡΦΕΣ ΔΟΜΕΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ

Abstract

ΑΣ ΘΕΩΡΗΣΟΥΜΕ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΠΟ ΕΝΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ ΧΩΡΟ ΥΣ'ΕΝΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ ΧΩΡΟ Ζ, ΟΠΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ζ ΘΕΩΡΟΥΜΕ ΜΙΑ ΗΜΙΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΔΟΜΗ ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΗ ΜΕ ΤΗΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ. ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΤΟΤΕ ΜΙΑ ΗΜΙΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΔΟΜΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, Η ΟΠΟΙΑ ΜΕ ΤΗ ΣΕΙΡΑ ΤΗΣ ΟΡΙΖΕΙ ΜΙΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΣΤΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΤΟΙΩΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΒΑΣΙΚΟ ΑΞΟΝΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ ΗΜΙΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΣΤΑ ΣΥΜΠΑΓΗ ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ ΤΟΥ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Υ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ: Α) Η ΕΥΡΕΣΗ ΙΚΑΝΗΣ ΣΥΝΘΗΚΗΣ ΩΣΤΕ Η ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΗΜΙΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΣΤΑ ΣΥΜΠΑΓΗ ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Υ ΝΑ ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗ ΓΝΩΣΤΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ "ΣΥΜΠΑΓΗ-ΑΝΟΙΚΤΗ" ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ. Β) ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΗΝ ΙΣΧΥ 'Η ΟΧΙ ΤΟΥ ΕΚΘΕΤΙΚΟΥ ΝΟΜΟΥ. Γ) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ AREN'S. Δ) ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΝΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΨΕΥΔΟΗΜΙΜΕΤΡΗΣΙΜΟΣ. Ε) ΙΚΑΝΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ Ο ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΠΛΗΡΗΣ. ΣΤ) ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ASCOLI, ΔΗΛΑΔΗ ΙΚΑΝΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΓΚΑΙΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΩΣΤΕ ΕΝΑ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΤΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΜΠΑΓΕΣ.

WE REGARD THE SET OF ALL CONTINUOUS FUNCTIONS FROM A TOPOLOGICAL SPACE Y INTO ANOTHER SPACE Z, WHERE THE SPACE Z IS EQUIPPED WITH A COMPATIBLE QUASI-UNIFORMITY. THEN A QUASI-UNIFORMITY ON THE ABOVE FUNCTION SPACE IS DEFINED, WHICH INDUCES A TOPOLOGY IN THIS FUNCTION SPACE. IN MY THESIS 9 STUDY PROPERTIES OF SUCH TOPOLOGIES. ESPECIALLY SO, 9 STUDY PROPERTIES OF THE TOPOLOGY OF QUASI-UNIFORM CONVERGENCE ON THE COMPACT SUBSETS OF THE DOMAIN SPACE Y. THE MOST IMPORTANT RESULTS ARE THE FOLLOWING: A) WE FIND A SUFFICIENT CONDITION SUCH THAT THE TOPOLOGY OF QUASI-UNIFORM CONVERGENCE ON THE COMPACT SUBSETS OF THE SPACE Y, TO COINCIDE WITH THE COMPACT-OPEN TOPOLOGY. B) WE PROVE PROPOSITIONS WHICH CONCERN THE EXPONENTIAL LAW. C) WE PROVE AREN'S TYPE THEOREMS. D) WE FIND SUFFICIENT CONDITIONS SUCH THAT THE CORRESPONDING FUNCTION SPACE TO BE QUASI-PSEUDOMETRIZABLE. E) WE FIND SUFFICIENT AND NECESSARY CONDITIONS SUCH THAT THE FUNCTIONSPACE TO BE SEQUENTIALLY COMPLETE. F) WE PROVE ASCOLI-TYPE THEOREMS.