ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ D+- ΕΥΣΤΑΘΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ

Abstract

WE ARE CONCERNED WITH THE GLOBAL QUALITIVE BEHAVIOR OF D+-STABLE (OR CHARACTERISTIC O+) DYNAMICAL SYSTEMS ON 2-MANIFOLDS, IN CONNECTION WITH THE TOPOLOGICALSTRUCTURE OF THE UNDERLYING PHASE SPACES. FIRST WE PROVE THAT A STABLE COMPACT MINIMAL SET OF A (NOT NECESSARILY D+ - STABLE) DYNAMICAL SYSTEM ON A 2-MANIFOLD IS TRIVIAL. USING THIS RESULT WE PROVE THAT THERE ARE ONLY SEVEN 2-MANIFOLDS SUPPORTING D+ - STABLE DYNAMICAL SYSTEMS WITH AT LEAST ONE PERIODIC ORBIT. FROM THIS WE DEDUCE THAT THERE ARE ONLY FOUR COMPACT 2-MANIFOLDS WHICH CAN SUPPORT A (NON-TRIVIAL) D+ - STABLE DYNAMICAL SYSTEM. ON THE CONTRARY, ON EVERY NON-COMPACT 2-MANIFOLD WE CONSTRUCT A (NON-TRIVIAL) D+ - STABLE DYNAMICAL SYSTEM. FINALLY, USING ALL THE PREVIOUSLY OBTAINED RESULTS WE PROVE THAT EVERY (CONTINUOUS) D+ - STABLE DYNAMICAL SYSTEM ON A 2- MANIFOLD IS TOPOLOGICALLY EQUIVALENT TO A SMOOTH (I.E. E -DIFFERENTIABLE) D+ - STABLE DYNAMICAL SYSTEM.

ΜΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ Η ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΤΗΣ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΩΝ D+ - ΕΥΣΤΑΘΩΝ(# ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗΣ Ο+) ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ 2- ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ, ΜΕ ΤΗΝ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΩΝ. ΣΤΗΝ ΑΡΧΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝΑ ΕΥΣΤΑΘΕΣ, ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΕΝΟΣ (ΟΧΙ ΚΑΤ'ΑΝΑΓΚΗ D+ -ΕΥΣΤΑΘΟΥΣ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΜΙΑ 2-ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΕΤΡΙΜΕΝΟ. ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΑΥΤΟ, ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΤΑ ΣΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ 2-ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΔΕΧΟΝΤΑΙ D+ -ΕΥΣΤΑΘΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΤΡΟΧΙΑ, ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΜΕ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΑ. ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΕΠΙΣΗΣ ΜΟΝΟ ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ 2-ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΔΕΧΘΟΥΝ (ΟΧΙ ΤΕΤΡΙΜΕΝΑ) D+ - ΕΥΣΤΑΘΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΑΝΤΙΘΕΤΑ, ΣΕ ΚΑΘΕ ΜΗ-ΣΥΜΠΑΓΗ 2- ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕΕΝΑ (ΟΧΙ ΤΕΤΡΙΜΕΝΟ) D+ -ΕΥΣΤΑΘΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. ΤΕΛΟΣ, ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ, ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΚΑΘΕ (ΣΥΝΕΧΕΣ) D+ -ΕΥΣΤΑΘΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕΜΙΑ 2- ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΜΕ ΕΝΑ E -ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟ D+- ΕΥΣΤΑΘΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ.