Algorithms for the inversion of block matrices and applications in direct and inverse scattering problems

Abstract

The aim of the present thesis was the development of analytical near-field inverse scattering algorithms for inverse source problems in cylindrical dielectric media, the construction of parallel inversion methods for block matrices with Simultaneously Diagonalizable Blocks (SDBs) and the application of such methods in the Method of Auxiliary Sources (MAS) for multilayered cylindrical geometries. The developed near-field inverse scattering algorithms are based on a moments method approach and through integral transformations, they fully achieve the analytical recovery of the internal source parameters, as well as the electromagnetic properties of the medium. The evaluation of the stability and sensitivity of these algorithms under noise and errors in the data was also studied thoroughly. Furthermore, the theoretical and computational background of inversion of block matrices with SDBs was studied. An efficient inversion algorithm was developed that exploits the structure of these block matrices and leads to a significant reduction in computational complexity compared to conventional methods. To achieve radical acceleration in the solution of complicated wave problems, we developed the parallelization of the above algorithms, through suitable loops for parallel execution of specific parts of the algorithm, enabling efficient distribution of computational tasks across multiple CPU threads (multi-threading). The application of the above methods was used for the solution of wave problems by the MAS, with particular application to multilayered cylindrical media. The combination of MAS with the developed parallelized algorithms makes it possible to solve realistic models of high complexity, such as the Luneburg lens, with substantial accuracy and computational efficiency.

Στόχος της παρούσας διατριβής ήταν η ανάπτυξη αναλυτικών αλγορίθμων αντίστροφης σκέδασης κοντινού πεδίου για προβλήματα αντίστροφης πηγής σε κυλινδρικά διηλεκτρικά μέσα, η κατασκευή μεθόδων παράλληλης αντιστροφής για μπλοκ πίνακες με Ταυτόχρονα Διαγωνοποιήσιμα Μπλοκ (SDBs) και η εφαρμογή τέτοιων μεθόδων στη Μέθοδο Βοηθητικών Πηγών (MAS) για πολυστρωματικές κυλινδρικές γεωμετρίες. Οι αναπτυγμένοι αλγόριθμοι αντίστροφης σκέδασης κοντινού πεδίου βασίζονται σε μια προσέγγιση μεθόδου ροπών και μέσω ολοκληρωτικών μετασχηματισμών, επιτυγχάνουν πλήρως την αναλυτική ανάκτηση των εσωτερικών παραμέτρων της πηγής, καθώς και των ηλεκτρομαγνητικών ιδιοτήτων του μέσου. Μελετήθηκε επίσης διεξοδικά η αξιολόγηση της σταθερότητας και της ευαισθησίας αυτών των αλγορίθμων υπό θόρυβο και σφάλματα στα δεδομένα. Επιπλέον, μελετήθηκε το θεωρητικό και υπολογιστικό υπόβαθρο της αντιστροφής μπλοκ πινάκων με SDBs. Αναπτύχθηκε ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος αντιστροφής που αξιοποιεί τη δομή αυτών των μπλοκ πινάκων και οδηγεί σε σημαντική μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας σε σύγκριση με τις συμβατικές μεθόδους. Για να επιτύχουμε ριζική επιτάχυνση στην επίλυση πολύπλοκων κυματικών προβλημάτων, αναπτύξαμε την παραλληλοποίηση των παραπάνω αλγορίθμων, μέσω κατάλληλων βρόχων για παράλληλη εκτέλεση συγκεκριμένων τμημάτων του αλγορίθμου, επιτρέποντας την αποτελεσματική κατανομή υπολογιστικών εργασιών σε πολλαπλά threads CPU (multi-threading). Η εφαρμογή των παραπάνω μεθόδων χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση κυματικών προβλημάτων από την MAS, με ιδιαίτερη εφαρμογή σε πολυστρωματικά κυλινδρικά μέσα. Ο συνδυασμός της MAS με τους ανεπτυγμένους παραλληλοποιημένους αλγορίθμους καθιστά δυνατή την επίλυση ρεαλιστικών μοντέλων υψηλής πολυπλοκότητας, όπως ο φακός Luneburg, με σημαντική ακρίβεια και υπολογιστική απόδοση.