Scattering amplitudes calculations at two-loops

Abstract

Despite the groundbreaking discovery of Higgs boson and the thus far successful interpretation of experimental data received by the Large Hadron Collider (LHC) at Cern, the Standard Model of Particle Physics (SM) still remains inadequate in providing a compelling explanation for various cosmological and not only issues, such as the origin of dark matter, dark energy, matter-antimatter asymmetry, and the incorporation of Quantum Gravity and neutrino oscillations. These challenges indicate that SM shall be considered as an effective theory valid at low energies and underscore the importance of extending it. To gain insights into what lies beyond SM we need to push its limits and explore potential inconsistencies with highly accurate experimental data obtained from the high luminosity LHC and upcoming colliders. Hence, it has become essential to generate theoretical predictions with equally high precision for multi-particle scattering processes, especially those involving Quantum Chromodynamics (QCD). These theoretical predictions are conducted within the framework of perturbative Quantum Field Theory, wherein the scattering cross section is computed through a series expansion based on the coupling constants of the relevant theory. The initial term of this expansion represents the leading-order prediction (LO), followed by the subsequent next-to-leading-order (NLO) prediction, further extended to the next-to-next-to-leading-order (NNLO) prediction, continued by the next-to-next-to-next-to-leading-order (N3LO) prediction, and so forth. Currently, the forefront of these computations reaches NNLO for processes involving five particles and N3LO for those involving four particles. Within this thesis we tackle these two frontiers in a two-fold manner. Concerning the NNLO computations, we upgrade the HELAC framework so that to be able to construct generic two-loop QCD scattering amplitudes using a mixed approach between Dyson-Schwinger recursion and Feynman graphs generation. Regarding the N3LO corrections, we compute all the three-loop 2 $\to$ 2 planar Feynman integral families (plus some non-planar ones) with massless internal propagators and one massive external particle, relevant to processes like $e^{+}e^{-} \to \gamma^* \to 3$ jets, $pp \to Z+$ jet and $pp \to H+$ jet. Both our approaches contribute to the virtual part of the corrections. The structure of this thesis is divided into two main parts. The first part, consisting of the first three chapters, represents a brief introduction to the currently employed techniques and methods for the production of precise theoretical predictions for collider physics phenomenology. More specifically, the first chapter of this part serves as an introduction to fundamental aspects of SM and QCD, delving into how theoretical estimations are crafted for cross sections predicted from collision experiments. The second chapter is dedicated to multi-loop scattering amplitudes discussing their basic properties, such as unitarity cuts and integration-by-parts identities, their construction at Tree-level and One-loop using the recursive approach implemented in HELAC, and their computation, focusing on the one-loop amplitude reduction paradigm, especially the Ossola-Papadopoulos-Pittau (OPP) method, which resulted in the automation of NLO computations. The third chapter delves into the concept of Feynman Integrals, examining their characteristics and parametric representations, while also introducing the main technique currently utilized for their computation, meaning the method of differential equations and a variant of it, the simplified differential equations approach. In the second part, consisting of the forth and fifth chapters, we present in detail our results for the HELAC two-loop upgrade and the computation of the three-loop 4-point Feynman integral families. Particularly, in the fourth we outline the algorithm for the construction of two-loop scattering amplitudes encoded in HELAC-2LOOP, providing a comprehensive rationale for each procedural aspect, and using as illustration a schematic example of a two-loop contribution to the scattering amplitude of the process $g g \to g g$. Furthermore, results concerning the construction of two-loop scattering amplitudes for various processes are presented and discussed. In the fifth chapter we provide details for the analytic computation in terms of real-valued multiple poly-logarithm (for both Euclidean and physical kinematics) of the ladder-box and the two tennis-court Feynman integral families, crucial for leading color $2\to2$ scattering processes involving one massive external particle and massless particles circulating in the loops, using the simplified differential equations approach. Moreover, we present also the analytic computation of two non-planar families relevant for the same scattering process but for full-color predictions, employing the standard differential equation method. Finally, in the last chapter we conclude, discussing on the importance of our results and possible extensions and next steps on the same direction.

Παρά την ανακάλυψη του μποζονίου Higgs και τη μέχρι στιγμής επιτυχημένη επεξήγηση των πειραματικών δεδομένων που λαμβάνονται στον Large Hadron Collider (LHC) του CERN, το Καθιερωμένο Πρότυπο της Σωματιδιακής Φυσικής (ΚΠ) εξακολουθεί να είναι ανεπαρκές ως προς την παροχή μιας πειστικής ερμηνίας για διάφορα κοσμολογικά και όχι μόνο ζητήματα, όπως η προέλευση της σκοτεινής ύλης και της σκοτεινής ενέργειας, η ασυμμετρία μεταξύ ύλης και αντιύλης στο παρατηρούμενο σύμπαν, και η αδυναμία ενσωμάτωσης σε αυτό της Κβαντικής Βαρύτητας και των ταλαντώσεων των νετρίνων. Οι προκλήσεις αυτές υποδεικνύουν ότι το ΚΠ θα πρέπει να θεωρείται μια αποτελεσματική θεωρία η οποία ισχύει σε χαμηλές ενέργειες, και υπογραμμίζουν την αναγκαιότητα επέκτασής της. Για να αποκτήσουμε γνώσεις σχετικά με το τι βρίσκεται πέρα από το ΚΠ πρέπει να εξετάσουμε λεπτομερώς τα όριά της θεωρίας αυτής και να διερευνήσουμε πιθανές ασυνέπειες μεταξύ των θεωρητικών προβλέψεων της και τα πειραματικά δεδομένα υψηλής ακρίβειας που λαμβάνονται και θα ληφθούν από τον LHC υψηλής φωτεινότητας και μελλοντικούς επιταχυντές. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν, στα πλαίσια του ΚΠ, θεωρητικές προβλέψεις υψηλής ακρίβεια για διάφορες διαδικασίες σκέδασης που περιλαμβάνουν πολλά σωματιδία, ιδίως για εκείνες στις οποίες υπερισχύει η επίδραση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD). Τέτοιου είδους προβλέψεις πραγματοποιούνται στο πλαίσιο της διαταρακτικής Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου, όπου η ενεργός διατομή σκέδασης υπολογίζεται μέσω ενός αναπτύγματος ως προς τις σταθερές σύζευξης της σχετικής θεωρίας. Ο πρώτος όρος του αναπτύγματος αυτού αντιπροσωπεύει την πρόβλεψη πρώτης τάξης (LO), ακολουθούμενη από την πρόβλεψη δεύτερης τάξης (NLO), η οποία με την σειρά της ακολουθείται απο την πρόβλεψη τρίτης τάξης (NNLO), η οποία συνεχίζεται από την πρόβλεψη τέταρτης τάξης (N3LO), και ούτω καθεξής. Επί του παρόντος, η αιχμή αυτών των υπολογισμών βρίσκεται στην NNLO τάξη για διεργασίες σκέδασης που περιλαμβάνουν πέντε σωματίδια, και στην N3LO τάξη για εκείνες που περιλαμβάνουν τέσσερα σωματίδια. Στο πλαίσιο αυτής της διατριβής αντιμετωπίζουμε αυτά τα δύο προβλήματα αιχμής με διττό τρόπο. Όσον αφορά τους υπολογισμούς NNLO τάξης, αναβαθμίζουμε το πακέτο HELAC έτσι ώστε να κατασκευάζει πλάτη σκέδασης δύο βρόχων για QCD διεργασίες, χρησιμοποιώντας μια μικτή προσέγγιση μεταξύ Dyson-Schwinger αναδρομής και δημιουργίας γραφημάτων Feynman. Όσον αφορά τις N3LO διορθώσεις, υπολογίζουμε όλες τις οικογένειες επίπεδων ολοκληρωμάτων Feynman τριών βρόχων (καθώς και μερικές μη επίπεδες οικογένειες) για} 2 $\to$ 2 διαδικασίες σκέδασης με άμαζους εσωτερικούς διαδότες στους βρόχους και ένα έμμαζο εξωτερικό σωματίδιο. Τα ολοκληρώματα αυτά είναι απαραίτητα για την μελέτη διεργασίων όπως οι $e^{+}e^{-} \to \gamma^* \to 3 \, \text{jets}$, $pp \to Z + \text{jet}$ και $pp \to H+ \text{jet}$. Και τα δύο αποτελέσματά μας συνεισφέρουν στο εικονικό (virtual) μέρος των διορθώσεων. Η δομή της παρούσας διατριβής χωρίζεται σε δύο κύρια μέρη. Το πρώτο μέρος, που συγκροτείται απο τα τρία πρώτα κεφάλαια, αποτελεί μια σύντομη εισαγωγή στις τεχνικές και τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται σήμερα για την παραγωγή υψηλής ακρίβειας θεωρητικών προβλέψεων για φαινομενολογία σχετιζόμενη με τους επιταχυντές σωματιδίων. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο κεφάλαιο αυτού του μέρους χρησιμεύει ως μια εισαγωγή σε θεμελιώδεις πτυχές του ΚΠ και της QCD, εμβαθύνοντας στον τρόπο με τον οποίο δημιουργούνται θεωρητικές εκτιμήσεις για τις ενεργές διατομές που μετρούνται από τα σύγχρονα πειράματα σύγκρουσης σωματιδίων. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στα πλάτη σκέδασης πολλαπλών βρόχων, συζητώντας τις βασικές ιδιότητές τους, όπως τα unitarity cuts και οι ταυτότητες που προκύπτουν από κατά παράγοντες ολοκλήρωσης, την κατασκευή τους σε επίπεδο δέντρου και ενός βρόχου χρησιμοποιώντας την αναδρομική προσέγγιση που εφαρμόζεται στο HELAC, και τον υπολογισμό τους, εστιάζοντας στο παράδειγμα της αναγωγής του πλάτους σκέδασης ενός βρόχου σε βασικά ολοκληρώματα στο integrand level, και ειδικότερα στη μέθοδο Ossola-Papadopoulos-Pittau (OPP), η οποία οδήγησε στην αυτοματοποίηση των} NLO υπολογισμών. Το τρίτο κεφάλαιο εμβαθύνει στην έννοια των ολοκληρωμάτων Feynman, εξετάζοντας τα χαρακτηριστικά τους και τις παραμετρικές αναπαραστάσεις τους, ενώ παράλληλα παρουσιάζει την κύρια τεχνική που χρησιμοποιείται σήμερα για τον υπολογισμό τους, δηλαδή τη μέθοδο των διαφορικών εξισώσεων, καθώς και μια παραλλαγή της, την προσέγγιση των απλοποιημένων διαφορικών εξισώσεων (SDE approach). Στο δεύτερο μέρος, που αποτελείται από το τέταρτο και το πέμπτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε λεπτομερώς τα αποτελέσματά μας για την αναβάθμιση του HELAC και τον υπολογισμό των οικογενειών ολοκληρωμάτων Feynman τριών βρόχων και με τέσσερα εξωτερικά σωματίδια. Ειδικότερα, στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφουμε τον αλγόριθμο για την κατασκευή των πλατών σκέδασης δύο βρόχων που είναι κωδικοποιημένός στο πακέτο HELAC-2LOOP, παρέχοντας μια περιεκτική αιτιολόγηση για κάθε αλγοριθμική πτυχή, και χρησιμοποιώντας για καλύτερη κατανόηση ένα σχηματικό παράδειγμα μιας συνεισφοράς δύο βρόχων στο πλάτος σκέδασης της διαδικασίας} $g g \to g g$. Επιπλέον, παρουσιάζονται και συζητούνται αποτελέσματα σχετικά με την κατασκευή πλατών σκέδασης δύο βρόχων για διάφορες διεργασίες. Προχωρώντας στο πέμπτο κεφάλαιο, παρέχουμε λεπτομέρειες για τον αναλυτικό υπολογισμό σε όρους real-valued πολλαπλών πολυλογαρίθμων (τόσο για την ευκλείδεια όσο και για τη φυσική κινηματική του προβήματος σκέδασης τεσσάρων σωματιδίων, ένα εκ' των όποιων είναι έμμαζο) των οικογενειών ολοκληρωμάτων Feynman, ladder-box και (δυο)} tennis-courts, οι οποίες συνεισφέρουν στις leading color $2\to2$ διεργασίες σκέδασης που περιλαμβάνουν ένα έμμαζο εξωτερικό σωματίδιο και άμαζα σωματίδια στους βρόχους, χρησιμοποιώντας την προσέγγιση των απλοποιημένων διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον, παρουσιάζουμε τον αναλυτικό υπολογισμό δύο μη επίπεδων οικογενειών που σχετίζονται με την ίδια διαδικασία σκέδασης, αλλά για προβλέψεις πλήρους χρώματος (full color), χρησιμοποιώντας την τυπική μέθοδο διαφορικών εξισώσεων. Τέλος, στο τελευταίο κεφάλαιο συζητάμε τη σημασία των αποτελεσμάτων μας, τις πιθανές επεκτάσεις και τα επόμενα βήματα που μπορούν να ακολουθηθούν προς την ίδια κατεύθυνση.