Entanglement entropy and gravity

Abstract

In this dissertation we study Entanglement Entropy in Quantum Field Theory, Integrability in Non Linear Sigma Models and Holographic Entanglement Entropy. The dissertation is divided into five parts. In Part 1 we review ideas and concepts, which constitute the framework for the research presented in this dissertation. We discuss ideas about the behaviour of information in quantum gravity, which preceded AdS/CFT and led to the formulation of the Holographic Principle. Then, we give brief introductions to AdS/CFT correspondence, as well as to Quantum Entanglement and Entanglement in Quantum Field Theory. Finally, we discuss Holographic Entanglement Entropy. Part 2 is devoted to Entanglement in Quantum Field Theory. We generalize the methods of Srednicki by introducing a mass term for the scalar field, as well as finite temperature. We develop a perturbative approach which can be used to calculate the spectrum of the reduced density matrix. We show that at finite temperature mutual information obeys an area law and propose a method to distinguish the classical and quantum contributions to it. The goal of Part 3 is to probe the relation of Entanglement Entropy and Integrability. In order to gain intuition about the application of the dressing method on static minimal surfaces in AdS 4, which are Euclidean world-sheets, we turn to the O(3) NLSM with Minkowski world-sheet. Initially, we construct string solutions, whose Pohlmeyer counterpart is expressed as an elliptic function, via the inversion of the Pohlmeyer reduction and present a parallel study of their properties and those of the Pohlmeyer counterpart. We apply the dressing method on the NLSM solution, as well as a Backlund transformation on the Pohlmeyer counterpart. We study in parallel their properties, such as the existence of a special class of dressed elliptic strings, which corresponds to the unstable modes of their elliptic precursors. Subsequently, we show that this conclusion coincides with a conventional stability analysis. Then, we apply the dressing method on static elliptic minimal surfaces in AdS 4 and obtain an addition formula for the surface element. Finally, we return to the O(3) NLSM and show that one can solve the auxiliary system, which guaranties the integrability of the theory, for an arbitrary seed solution. In Part 4 we study Holographic Entanglement Entropy. Initially, we present a flow equation which describes minimal surfaces as geometric flow with respect to the holographic coordinate. Using this framework, we study the divergent terms of the expansion of holographic entanglement entropy purely from a holographic point of view. Finally, we discuss the equivalence of the first law of entanglement thermodynamics to the linearized Einstein equations and construct the bulk to boundary propagator in Fefferman - Graham gauge, which is the link between the two equivalent statements. Part 5 consists of appendices.

Στην παρούσα διατριβή μελετάται η Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, μέθοδοι ολοκληρωσιμότητας σε Μη Γραμμικά Σίγμα Μοντέλα και η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής. Η Διατριβή είναι χωρισμένη σε 5 μέρη.Στο 1ο μέρος γίνεται ανασκόπηση των θεμάτων που αποτελούν το πλαίσιο στο οποίο εντάσσεται η έρευνα που παρουσιάζεται στην διατριβή. Γίνεται μια ανασκόπηση των ιδεών που σχετίζονται με την συμπεριφορά της κβαντικής πληροφορίας στα πλαίσια της κβαντικής βαρύτητας. Οι ιδέες αυτές προϋπήρχαν της αντιστοιχίας AdS/CFT και οδήγησαν στην διατύπωση της ολογραφικής αρχής. Στην συνέχεια γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στην αντιστοιχία AdS/CFT, στην Κβαντική Διεμπλοκή, στην Διεμπλοκή στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Τέλος παρουσιάζεται η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής.Το 2ο μέρος είναι αφιερωμένο στην Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Γενικεύουμε την μέθοδο του Srednicki εισάγοντας όρο μάζας για το βαθμωτό πεδίο, καθώς και πεπερασμένη θερμοκρασία. Αναπτύσσουμε μια διαταρακτική μέθοδο η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του φάσματος του ανηγμένου τελεστή πυκνότητας. Δείχνουμε πως σε πεπερασμένη θερμοκρασία είναι η αμοιβαία πληροφορία αυτή που υπακούει «νόμο εμβαδού». Παράλληλα προτείνουμε μια μέθοδο για τον διαχωρισμό των κλασσικών και κβαντικών συνεισφορών στην αμοιβαία πληροφορία.Στόχος του 3ου μέρους είναι η διερεύνηση της σχέσης της εντροπίας διεμπλοκής με την ολοκληρωσιμότητα. Προκειμένου να αποκτήσουμε διαίσθηση για την εφαρμογή της μεθόδου ένδυσης (dressing method) στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4, τα οποία είναι ευκλείδεια κοσμικά σεντόνια, στρεφόμαστε στο Ο(3) Μη Γραμμικό Σίγμα Μοντέλο με Minkowski κοσμικό σεντόνι. Αρχικά κατασκευάζουμε λύσεις του ΜΓΣΜ, οι οποίες αντιστοιχούν σε λύσεις της ανηγμένης κατά Pohlmeyer θεωρίας, εκπεφρασμένες με ελλειπτικές συναρτήσεις, αντιστρέφοντας την αναγωγή Pohlmeyer. Παρουσιάζουμε μια παράλληλη μελέτη των ιδιοτήτων των λύσεων και της εικόνας τους στην ανηγμένη θεωρία. Εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις λύσεις του ΜΓΣΜ, καθώς και μετασχηματισμούς Backünd στις λύσεις της ανηγμένης θεωρίας. Μελετάμε παράλληλα ιδιότητες, όπως την ύπαρξη μιας ειδικής κλάσης λύσεων η οποίες σχετίζονται με αστάθειες των ελλειπτικών λύσεων. Στην συνέχεια δείχνουμε πως αυτό το συμπέρασμα επαληθεύεται από μια συμβατική ανάλυση ευστάθειας βασιζόμενη σε γραμμικοποιημένες διαταραχές. Ακολούθως εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4 και παρουσιάζουμε έναν κανόνα μεταβολής για το στοιχείο του εμβαδού. Τέλος, επιστρέφουμε στο Ο(3) ΜΓΣΜ και παρουσιάζουμε την λύση του βοηθητικού συστήματος, το οποίο εξασφαλίζει την ολοκληρωσιμότητα της θεωρίας, για τυχαία αρχική λύση. Στο 4ο μέρος μελετάμε την ολογραφική εντροπία διεμπλοκής. Αρχικά παρουσιάζουμε την εξίσωση ροής, η οποία περιγράφει μια ελάχιστη επιφάνεια ως γεωμετρική ροή με παράμετρο την ολογραφική συντεταγμένη. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον φορμαλισμό μελετάμε τους αποκλίνοντες όρους του αναπτύγματος της ολογραφικής εντροπίας διεμπλοκής χρησιμοποιώντας μια αμιγώς ολογραφική προσέγγιση. Τέλος συζητάμε την ισοδυναμία του 1ου νόμου της θερμοδυναμικής της διεμπλοκής με τις γραμμικοποιημένες εξισώσεις Einstein. Κατασκευάζουμε τoν διαδότη του βαρυτονίου από το εσωτερικό του χωροχρόνου AdS στο σύνορο, στην βαθμίδα Fefferman – Graham, ο οποίος είναι ο συνδετικός κρίκος ανάμεσα στις δύο ισοδύναμες περιγραφές.Το 5ο μέρος περιέχει παραρτήματα.