Variational problems in submanifold geometry

Abstract

In this thesis, in the first chapter we set up the notation and recall basic facts from Submanifold Geometry. We introduce the notion of harmonic and minimal maps between Riemannian manifolds. Furthermore, we recall some global rigidity results that we will use in the proofs of our main results. The second chapter is devoted to the description of the geometry of the unit tangent bundle of a Riemannian manifold. Moreover, we derive the Euler-Lagrange formulas for the energy and volume functionals in the case of a unit vector field. In the third chapter, we define the second fundamental form of the horizontal distribution and obtain its Riccati and Codazzi equations. In the sequel, we provide an alternative approach to the geometric setup by Gluck & Warner and therefore provide simplified proofs to a number of already known results. In the fourth and fifth chapter, we state and prove our main results for the harmonic and minimal case, respectively. Specifically, we show that the Gauss maps associated to great circle fibrations of the euclidean unit three-dimensional sphere are harmonic, respectively minimal, if and only if the unit vector field generating the great circle foliation is harmonic, respectively minimal, unit vector field. These results can be viewed as analogues of the classical theorem of Ruh and Vilms about the harmonicity of the Gauss map of a minimal submanifold in the euclidean space. Moreover, we prove that a harmonic or minimal unit vector field globally defined on the three-dimensional sphere, whose integral curves are great circles, is a Hopf vector field.

Στην παρούσα διατριβή, το πρώτο κεφάλαιο αναφέρει έννοιες από την Γεωμετρία Υποπολυπτυγμάτων. Εισαγάγουμε τις έννοιες των αρμονικών και ελαχιστικών απεικονίσεων και ανακαλούμε ολικά αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις. Το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στην περιγραφή της μοναδιαίας εφαπτόμενης δέσμης ενός πολυπτύγματος Riemann. Επιπλέον, βρίσκουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange για το συναρτησοειδές ενέργειας και όγκου για μοναδιαία διανυσματικά πεδία. Στο τρίτο κεφάλαιο περιέχεται ο ορισμός της δεύτερης θεμελιώδους μορφής μιας φύλλωσης από μέγιστους κύκλους της τριδιάστατης σφαίρας και αποδεικνύονται οι εξισώσεις Riccati και Codazzi. Επιπλέον, παρέχουμε μια εναλλακτική προσέγγιση στην κατασκευή των Gluck και Warner. Ως εκ τούτου, λόγω της προσέγγισης μας δίνουμε απλοποιημένες αποδείξεις σε έναν αριθμό από ήδη γνωστά αποτελέσματα. Στο τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο περιέχονται οι αποδείξεις των αποτελεσμάτων μας για την αρμονική και ελαχιστική περίπτωση, αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι οι συσχετισμένες απεικονίσεις Gauss με τέτοιες φυλλώσεις είναι αρμονικές ή αντίστοιχα ελαχιστικές αν και μόνο αν το μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο που παράγει την φύλλωση από μέγιστους κύκλους είναι αρμονικό ή αντίστοιχα ελαχιστικό μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο. Τα αποτελέσματα αυτά είναι ανάλογα ενός κλασικού Θεωρήματος των Ruh και Vilms που αφορά την αρμονικότητα μιας απεικόνισης Gauss ενός ελαχιστικού υποπολυπτύγματος του ευκλείδειου χώρου. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι αν έχουμε αρμονικό ή ελαχιστικό μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο ολικά ορισμένο στην τριδιάστατη σφαίρα και οι ολοκληρωτικές του καμπύλες είναι μέγιστοι κύκλοι τότε αυτό είναι διανυσματικό πεδίο Hopf.